目錄目錄 - 1 -
（一） 數的整除 - 2 -
（二） 數字謎 - 4 -
① 橫式字謎 - 5 -
豎式字謎 - 7 -
（三） 定義新運算 - 10 -
（四） 行程問題 - 13 -
① 追擊及遇問題 - 13 -
② 火車過橋 - 16 -
（五） 列方程解應用題 - 18 -
（六） 抽屜原理 - 22 -
（七） 不規則圖形面積計算（1） - 23 -
（八） 不規則圖形面積計算（2） - 27 -
（九） 邏輯推理 - 32 -
（十） 牛吃草 - 34 -
（十一） 流水行船 - 37 -
（十二） 奇數與偶數 - 39 -
（十三） 週期性問題 - 42 -
（十四） 植樹問題 - 45 -
（十五） 有趣的樹陣圖 - 48 -
（十六） 有趣的樹陣圖練習 - 51 -
（1） 數的整除
如果整除a除以不為零數b，所得的商為整數而餘數為0，我們就說a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那麼，b叫做a的約數，a叫做b的倍數。
數的整除的特徵：
（1） 能被2整除的數的特徵：如果乙個整數的個位數字是2、4、6、8、0，那麼這個整數一定能被2整除。
（2） 能被3（或9）整除的數的特徵：如果乙個整數的各個數字之和能被3（或9）整除，那麼這個整數一定能被3（或9）整除。
（3） 能被4（或25）整除的數的特徵：如果乙個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那麼這個數就一定能被4（或25）整除。
（4） 能被5整除的數的特徵：如果乙個整數的個位數字是0或5，那麼這個整數一定能被5整除。
（5） 能被6整除的數的特徵：如果乙個整數能被2整除，又能被3整除，那麼這個數就一定能被6整除。
（6） 能被7（或11或13）整除的數的特徵：乙個整數分成兩個數，末三位為乙個數，其餘各位為另乙個數，如果這兩個數之差是0或是7（或11或13）的倍數，這個數就能被7（或11或13）整除。
（7） 能被8（或125）整除的數的特徵：如果乙個整數的末三位數能被8（或125）整除，那麼這個數就一定能被8（或125）整除。
（8） 能被11整除的數的特徵：如果乙個整數的奇數字數字之和與偶數字數字之和的差（大減小）能被11整除，那麼它必能被11整除。
1、例題與方法指導
例1. 乙個六位數23□56□是88的倍數,這個數除以88所得的商是_____或_____.
思路導航：
乙個數如果是88的倍數,這個數必然既是8的倍數,又是11的倍數.根據8的倍數,它的末三位數肯定也是8的倍數,從而可知這個六位數個位上的數是0或8.而11的倍數奇偶位上數字和的差應是0或11的倍數,從已知的四個數看,這個六位數奇偶位上數字的和是相等的,要使奇偶位上數字和差為0,兩個方框內填入的數字是相同的,因此這個六位數有兩種可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 23056088=2620
23856888=2711
所以,本題的答案是2620或2711.
例2. 123456789□□,這個十一位數能被36整除,那麼這個數的個位上的數最小是_____.
思路導航：
因為36=94,所以這個十一位數既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45，由能被9整除的數的特徵，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數的特徵:
這個數的末尾兩位數是4的倍數,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數個位上有0,2,6三種可能性.
所以,這個數的個位上的數最小是0.
例3. 下面乙個1983位數33…3□44…4中間漏寫了乙個數字(方框),已
991個 991個
知這個多位數被7整除，那麼中間方框內的數字是_____.
思路導航：
33…3□44…4
991個 991個
=33…310993+3□410990+44…4
990個990個
因為111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990個 990個
3□4能被7整除，原數即可被7整除.故得中間方框內的數字是6.
例4. 有三個連續的兩位數,它們的和也是兩位數,並且是11的倍數.這三個數是_____.
思路導航：
三個連續的兩位數其和必是3的倍數,已知其和是11的倍數,而3與11互質,所以和是33的倍數,能被33整除的兩位數只有3個,它們是33、66、99.所以有
當和為33時,三個數是10,11,12；
當和為66時,三個數是21,22,23；
當和為99時,三個數是32,33,34.
所以，答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。
[注]「三個連續自然數的和必能被3整除」可證明如下：
設三個連續自然數為n,n+1,n+2,則
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以，能被3整除.
2、鞏固訓練
1. 有這樣的兩位數,它的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,它的兩個數字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數的和是____.
2. 乙個小於200的自然數,它的每位數字都是奇數,並且它是兩個兩位數的乘積,那麼這個自然數是_____.
3. 任取乙個四位數乘3456,用a表示其積的各位數字之和,用b表示a的各位數字之和,c表示b的各位數字之和,那麼c是_____.
4. 有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數字組成不同的四位數，如果把其中能被3整除的四位數從小到大排列起來，第五個數的末位數字是_____.
3、拓展提公升
1. 找出四個互不相同的自然數,使得對於其中任何兩個數,它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小,那麼這四個數里中間兩個數的和是多少？
2． 只修改21475的某一位數字,就可知使修改後的數能被225整除,怎樣修改？
3． 500名士兵排成一列橫隊.第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報數；第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數，既報1又報6的士兵有多少名？
4. 試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除？如果回答：
「可以」，則只要舉出一種排法；如果回答：「不能」，則需給出說明.
（2） 數字謎
小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字遊戲，例如「空中碼頭」（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關係，想想「空中」指什麼？
「天」。這個地名第1個字可能是天。「碼頭」指什麼呢？
碼頭又稱渡口，聯絡這個地名開頭是「天」字，容易想到「天津」這個地名，而「津」正好又是「渡口」的意思。這樣謎底就出來了：天津。
算式謎又被稱為「蟲食算」，意思是說一道算式中的某些數字被蟲子吃掉了無法辨認，需要運用四則運算各部分之間的關係，通過推理判定被吃掉的數字，把算式還原。「蟲食算」主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用□、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字，相同的數字或字母表示同乙個數字。
文字算式謎也是最難的一種算式謎。
在數學裡面，文字也可以組成許許多多的數學遊戲，就讓我們一起來看看吧。
① 橫式字謎
1、例題與方法指導
例1 □，□8，□97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這3個數的平均數是150。那麼所填的3個數字之和是多少？
思路導航：150*3-8-97-5=340
所以3個數之和為3+4+5=12。
例2 在下列算式的□中填上適當的數字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1） 6104/56=109
（2）7548/37=204
（3） 3393/29=117
（4）8468/58=146
例3 在算式40796÷□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字後，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數。
分析：40796/102=399...98。
例4 我學數學樂×我學數學樂=數數數學數數學學數學
在上面的乘法算式中，「我、學、數、樂」分別代表的4個不同的數字。如果「樂」代表9，那麼「我數學」代表的三位數是多少？
分析：學=1，我=8，數=6 ，81619*81619=6661661161
例524在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的數比右邊的數小，並且等式成立。
思路導航：
這樣，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a例6 ① □×□=5□；② 12+□－□=□，把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這裡有3個數字已經填好。
分析：根據第乙個等式，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，則餘下的數字有：
3、4、9，顯然不行；而當6*9=54時，餘下的數字有：3、7、8，那麼，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。
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目錄 第一講消去問題 一2 第二講消去問題 二7 第三講一般應用題12 第四講盈虧問題 一 16 第五講盈虧問題 二17 第六講流水問題19 第七講等差數列23 第八講找規律26 能力測試 一26 第九講加法原理28 第十講乘法法原理31 第十一講週期問題 一35 第十二講週期問題 二37 第十三講...
五年級奧數培訓教材
第一章數與計算 第一講估值問題 第二章趣題與智巧 第一講算式謎 第三章實踐與應用 一 第一講行程問題 一 第二講行程問題 二 第三講行程問題 三 第四講行程問題 四 第四章數論與整除 第一講數字趣題 第二講分解質因數 一 第三講分解質因數 二 第四講最大公因數 第五講最小公倍數 一 第六講最小公倍數...
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正方形 中等難度 正方形的一條對角線長13厘公尺，這個正方形的面積是 平方厘公尺 分析 13 13 2 84.5 數的整除 中等難度 已知九位數既是9的倍數，又是11的倍數 那麼，這個九位數是多少？賽局問題 中等難度 四位同學進行了一次桌球單打比賽，當比賽進行了若干場後，體育老師問他們分別比賽了多少...