數學建模**摘要
學生的學習狀況是評價教學質量的重要指標。本文分別分析了與學生學習狀況有關的各個方面（學習態度、學習方法、師資水平）的因素，對其學習狀況進行了綜合評價，以使得對教師教學質量評價能夠合理公正，並可據此有針對性地尋求改善方法。
文中，我們首先對給出的調查表資料進行了計算與分析，經過分析發現調查表中的第3、4題的資料大部分無效。然後我們對調查表給出的問題進行了整合分類，排除3、4題，並單獨列出第6題之後，將剩餘的問題分別分為學習態度、學習方法和師資水平三類。之後利用模糊綜合評價模型對各班學習狀況的三方面指標進行了量化分析。
又根據量化結果對學習狀況進行了總體分析。在對教學班進行分類時我們採用了模糊聚類分析模型，選取了不同的值，根據各班學習狀況的三方面指標水平是否相同進行了不同的分類。
關鍵字學習狀況模糊評判模糊聚類權係數向量隸屬度
目錄一、問題重述和分析4
1.1問題重述
1.2問題分析
二、模型假設4
三、符號說明4
四、模型建立與求解5
4.1資料及問題的整合
4.2模糊綜合評價模型的建立與求解
4.3模糊聚類分析模型的建立與求解
五、模型的優缺點29
六、參考文獻29
附錄1（excel工作表）
附錄2學生數學學習調查報告
一、問題重述和分析
1.1問題重述
為了掌握學生數學學習情況，教學管理人員擬定了乙份調查問卷（附件一），分別對一年級、二年級學生進行了問卷調查。問卷調查時，一年級學生正在學習高等數學下冊，二年級學生已經學習完高等數學、線性代數、概率論與數理統計。請根據調查資料（附件二中給出了調查統計資料），回答下面的問題：
1、從總體上分析學生的學習狀況；
2、建立一定的標準，對調查的教學班進行分類；
3、從學習態度、學習方法、師資水平等方面進行量化分析；
4、撰寫乙份學生數學學習調查報告，以便向有關部門介紹調查結果。
（附件略）
1.2問題分析（略）
二、模型假設
1、模型建立過程中對每題權係數的假設是合理的。
2、對學習狀況三方面指標權係數的假設是合理的。
3、以學習狀況三方面指標的對比是否在同一水平為標準進行班級分類。
4、假設模糊等價矩陣在不是方陣的情況下也是成立的。
5、排除3、4題之後對結果無影響。
三、符號說明
一班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
二班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
三班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
四班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
五班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
六班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
七班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
八班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
九班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
十班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
十一班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況；
十二班綜合模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況。
一班模糊評判矩陣：學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況。
權係數向量: 學習態度，學習方法，師資水平，學習狀況
歸一化處理中學生學習態度的最終評判結果：一班至十二班分別為
歸一化處理中學生學習方法的最終評判結果：一班至十二班分別為
歸一化處理中師資水平的最終評判結果：一班至十二班分別為
歸一化處理中師資水平的最終評判結果：一班至十二班分別為
評價指標的集合；評語集合。
四、模型建立與求解
4.1資料及問題的整合
由於題目中的資料是在word文件中，處理起來較為困難，根據後面模型建立與求解過程中的要求，我們首先對資料進行整合，將其匯入excel，計算出每個題目中學生選擇各個選項的百分比。詳見附表。
學生的學習狀況分為學習態度、學習方法、師資水平三個方面。首先對每個方面有關的五個問題進行模糊綜合評價，對得出的三個結果再次進行模糊綜合評價，從而總體分析學生的學習狀況。對調查表中的題目進行分類處理。
大部分班級題目3、4的調查資料無效（除
二、七、
十、十二班）。題目4是在題目3的基礎上進行回答的，只有選擇了第3題a選項的同學才可以對第4題進行作答。因此，回答第4題的總人數不可能超過第3題選擇a選項的學生人數。
不合理調查表資料如下（注：紅色字型說明該組資料的不合理性）：
因此題目3、4排除，不分析。
題目6屬於多選題，在對每個選項進行等級歸類時各類所佔的百分比過於分化，在進行模糊矩陣運算時出現偏差的可能性較大。因此將第6題另列出來與其他的整體分析結合起來進行分析。
第18題反映了學生對老師教學方式的選擇傾向，調查資料顯示每班選擇b的選項佔大多數，即學生都喜歡板書與多**相結合的教學方式，說明學生都希望與老師進行溝通交流。
題目1、2、5、10、15反應出學生的學習態度；題目11、12、14、16、19反映出學生的學習方法；題目7、8、9、13、17反映出教學的師資水平。
4.2、模糊綜合評價模型的建立與求解
模糊綜合評價模型：
首先要求出模糊評判矩陣，其中表示方案在第個目標處於第級評語的隸屬度。當對多個目標進行綜合模糊評價時，還要對各個目標進行分別加權，設第個目標權係數為，則可得權係數向量，滿足,。最後利用矩陣的模糊乘法得到綜合模糊評判矩陣，即
綜合模糊評判矩陣表示方案處於各檔評語的隸屬情況。矩陣的模糊乘法只需將矩陣乘法中普通相乘改為取最小運算，普通加法換成取最大運算。
一）一班模糊綜合評價模型的建立：
（1）一班學生學習態度模糊綜合評價模型的建立：
將學習態度分為高、中、低三個等級，然後將每個題目中的各個選項分別進行三個等級的歸類，綜合各個選項的百分比得出每乙個等級的隸屬度。
1.你喜歡數學課程學習嗎？
a. 喜歡 b. 一般 c.不喜歡
（興趣可以反應出做事情的態度，所以該題在學習態度方面的權係數可假設為起平均權係數0.2。各等級的隸屬度分別為各選項的百分比。）
2.你對自己的數學課程學習滿意嗎？
a. 滿意 b.不滿意 c.基本滿意
（根據第一題的資料90%的學生是喜歡數學課程的學習的，但是該題的資料卻顯示學生對數學學習的滿意程度並不高，說明學生對數學課程的要求很高，反應出他們的學習態度是很認真的。因此該題在學習態度方面所佔的權係數應當是較大的，可假設其權係數為0.4。
「不滿意」從反面說明學生對數學課程的要求較高，學習態度認真。因此b選項屬於「高」等級，c屬於「中」等級。各等級的隸屬度分別為各選項的百分比。）
5 .你花在數學學習上的時間與教師講課相比有多少？
a. 1:1 b. 1.5:1 c. 2:1 d. 超過2
（花費時間的多寡並不能充分地說明學生學習態度的好壞。學習態度認真可能會花費大量時間在數學學習上，但是如果沒有合理利用課堂時間，課後的學習可能就會花費更多的時間。因此可假設其權係數為0.
15。cd選項可歸於「高」等級，其隸屬度為二者所佔百分比之和；b屬於「中」等級，a屬於「低」 等級。）
10.你認為數學學習重要嗎？
a. 重要 b. 不重要 c. 不是很重要 d. 專業需要 e. 考研課程
（對數學學習重要性的認識可以使學生產生對數學學習的的正確了解，從而決定對待數學學習的態度。但是調查物件為大
一、大二的學生，他們對數學的了解僅限於教師在課堂上傳授的知識，因此他們對該題目的選擇與判斷與學習態度的關聯程度並不是太大。因此可假設其權係數為0.1。
de均可歸於a選項，三者同屬於「高」等級，隸屬度為三者所佔百分比之和；c屬於「中」等級，b屬於「低」等級。）
15.數學學好了對你的未來有影響嗎？
a. 非常大 b. 沒有影響 c. 考試及格即可 d. 有影響
（與10題類似，調查物件為大
一、大二的學生，他們對數學的了解僅限於教師在課堂上傳授的知識，因此他們對該題目的選擇與判斷與學習態度的關聯程度並不是太大。因此可假設其權係數為0.05。
ad可歸於「高」等級，c屬於「中」等級，b屬於「低」等級。）
注：未加詳細說明的等級順序均為個選項順序。
綜上，學習態度的權係數向量為.模糊評判矩陣為
根據矩陣的模糊乘法得到綜合模糊評判矩陣， 即==
矩陣的模糊乘法只需將矩陣乘法中普通相乘改為取最小運算，普通加法換成取最大運算。
歸一化處理得到。這就是對一班學習態度最終綜合評判結果。 把與學習態度相關的各個題目都考慮到，「高」等級所佔比重最大，並且中等水平也占有很大比重，所以該班學習態度是很好的。
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