小題精練(二十一) 推理與證明
(限時：60分鐘)
1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10
＝( )
a．28 b．76 c．123 d．199
2．(2014·遼陽模擬)已知數列的前n項和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，
a4，猜想an等於( )
a. b. c. d.
3．(2013·高考湖南卷)已知稜長為1的正方體的俯檢視是乙個面積為1的正方形，則該正
方體的正檢視的面積不可能等於( )
a．1 b. c. d.
4．定義一種運算「*」：對於自然數n滿足以下運算性質：
(ⅰ)1*1＝1，(ⅱ)(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1等於( )
a．n b．n＋1 c．n－1 d．n2
5．數列滿足：a1＝3，an＝(n≥2，n∈n*)，則數列的通項公式an等於( )
a. b. c. d.
6．觀察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，則52 014的末四位數字為( )
a．3 125 b．5 625 c．0 625 d．8 125
7．(2014·深圳市模擬)函式y＝f(x)，x∈d，若存在常數c，對任意的x1∈d存在唯一的x2
∈d使得＝c，則稱函式f(x)在d上的幾何平均數為c.已知f(x)＝x3，x∈[1，2]，則函式f(x)＝x3在[1，2]上的幾何平均數為( )
a. b．2 c．4 d．2
8．(2014·石家莊市模擬)已知數列an依它的前10
項的規律，則a99＋a100的值為( )
a. b. c. d.
9．若直角座標平面內的兩個不同點m、n滿足條件：
①m、n都在函式y＝f(x)的圖象上；②m、n關於原點對稱，則稱點對[m，n]為函式y＝f(x)的一對「友好點對」．(注：點對[m，n]與[n，m]為同一「友好點對」)
已知函式f(x)＝，此函式的「友好點對」有( )
a．0對 b．1對 c．2對 d．3對
10．把正整數按一定的規則排成了如圖所示的三角形數表．設aij(i，j∈n*)是位於這個三角
形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數，如a42＝8.若aij＝2 013，則i與j的和為( )
a．106 b．107 c．108 d．109
11．(2013·高考天津卷)已知下列三個命題：
①若乙個球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；②若兩組資料的平均數相等，則它們的標準差也相等；③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝相切．
其中真命題的序號是( )
a．①②③ b．①② c．①③ d．②③
12．(2014·長春市調研測試)對於非空實數集a，記a*＝．設非空實數集
合m、p滿足：mp，且若x＞1，則xp.現給出以下命題：
①對於任意給定符合題設條件的集合m、p，必有p*m*；
②對於任意給定符合題設條件的集合m、p，必有m*∩p≠；
③對於任意給定符合題設條件的集合m、p，必有m∩p*＝；
④對於任意給定符合題設條件的集合m、p，必存在常數a，使得對任意的b∈m*，恒有a＋b∈p*，其中正確的命題是( )
a．①③ b．③④ c．①④ d．②③
13．(2014·武漢市調研測試)在等差數列中，若a1＝0，s，t是互不相等的正整數，則
有等式(s－1)at－(t－1)as＝0成立．模擬上述性質，相應地，在等比數列中，若b1＝1，s，t是互不相等的正整數，則有等式________成立．
14．觀察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……照此規律，第n個等式可為________．
15．設函式f(x)＝(x＞0)，觀察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……
根據以上事實，由歸納推理可得：
當n∈n*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x
16．(2014·武漢市武昌區高三年級聯考)十進位制的四位自然數的反序數是指千位與個位位置
對調，百位與十位位置對調的數，例如4 852的反序數就是2 584.2023年，卡普耶卡研究了對四位自然數的一種變換：任給出四位數a0，用a0的四個數字由大到小重新排列成乙個四位數m，再減去它的反序數n得出數a1＝m－n，然後繼續對a1重複上述變換，得數a2，…，如此進行下去，卡普耶卡發現，無論a0是多大的四位數，只要四個數字不全相同，最多進行k次上述變換，就會出現變換前後相同的四位數t.
請你研究兩個十進位制四位數5 298和4 852，可得k四位數t
1．解析：選c.觀察規律，歸納推理．
從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，後乙個式子的右端值等於它前面兩個式子右端值的和，照此規律，則a10＋b10＝123.
2．解析：選b.an＝sn－sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
∴(n－1)2an－1＝(n－1)(n＋1)an.
∴an＝an－1.
由a1＝1知：a2＝，a3＝.
∴猜想an＝，故選b.
3．解析：選c.根據正方體的正檢視的形狀求解．
當正方體的俯檢視是面積為1的正方形時，其正檢視的最小面積為1，最大面積為.因為＜1，因此所給選項中其正檢視的面積不可能為，故選c.
4．解析：選a.由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.
5．解析：選d.a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
猜想：an＝.
6．解析：選b.55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59與55的後四位數字相同，…，由此可歸納出5m＋4k與5m(k∈n*，m＝5，6，7，8)的後四位數字相同，又2 014＝4×502＋6，所以52 014與56後四位數字相同為5 625，故選b.
7．解析：選d.令x1x2＝m，且1≤x1≤2，1≤x2≤2，則x2≤x1x2≤2x2，即x2≤m≤2x2，∴，可得m＝2，故c＝＝＝＝2.
8．解析：選a.通過將數列的前10項分組得到第一組有乙個數，分子分母之和為2；第二組有兩個數，，分子分母之和為3；第三組有三個數，，，分子分母之和為4；第四組有四個數，依次類推，a99，a100分別是第十四組的第8個數與第9個數，分子分母之和為15，所以a99＝，a100＝，故選a.
9．解析：選c.由題意，當x＞0時，將f(x)＝log3x的圖象關於原點對稱後可知g(x)＝－log3(－x)(x＜0)的圖象與x＜0時，f(x)＝－x2－4x存在兩個交點，故「友好點對」的數量為2，故選c.
10．解析：選d.由三角形數表的排列規律知，aij＝2 011，則i必為奇數．設i＝2m＋1.
在第i行上面，必有m行為奇數行，m行為偶數行．在前2m行中，共有奇數m2個．最大的奇數為1＋(m2－1)×2＝2m2－1，由2m2－1＜2 013得m的最大值為31.
∴i＝63.最大的奇數為1 921，在第63行中，首項為1 923，即1 923＋(j－1)×2＝2 013，∴j＝46，故i＋j＝109.
11．解析：選c.對各個命題逐一進行判斷，得出結論．
對於命題①，設球的半徑為r，則π·＝··πr3，故體積縮小到原來的，命題正確；對於命題②，若兩組資料的平均數相同，則它們的標準差不一定相同，例如資料：1，3，5和3，3，3的平均數相同，但標準差不同，命題不正確；對於命題③，圓x2＋y2＝的圓心(0，0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝，等於圓的半徑，所以直線與圓相切，命題正確．
12．解析：選c.對於②，假設m＝p＝，
則m*＝，則m*∩p＝，因此②錯誤；對於③，假設m＝p，則∈m，又∈p*，則m∩p*≠，因此③也錯誤，而①和④都是正確的，故選c.
13．解析：通過模擬，等比數列的商對等差數列的差，故等式應是＝1.
答案：＝1
14．解析：從給出的規律可看出，左邊的連乘式中，連乘式個數以及每個連乘式中的第乙個加數與右邊連乘式中第乙個乘數的指數保持一致，其中左邊連乘式中第二個加數從1開始，逐項加1遞增，右邊連乘式中第二個乘數開始，組成以1為首項，2為公差的等差數列，項數與第幾個等式保持一致，則照此規律，第n個等式可為(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
15．解析：由於f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，f4(x)＝，還可求得f5(x)＝，由以上結果可以發現：當n∈n*時，fn(x)的表示式都是分式的形式，分子上都是x，分母上都是x的一次式，其中常數項依次為2，4，8，16，32，…，可知其規律是2n的形式，而x的一次項的係數比常數項都小1，因此可得fn(x)＝(n∈n*且n≥2)．
答案：16．解析：a0＝5 298，a1＝9 852－2 589＝7 263，a2＝7 632－2 367＝5 265，a3＝6 552－2 556＝3 996，a4＝9 963－3 699＝6 264，a5＝6 642－2 466＝4 176，a6＝7 641－1 467＝6 174，a7＝7 641－1 467＝6 174，k＝6，t＝6 174.
同理，可得k＝7，t＝6 174.故k＝7，t＝6 174.
答案：7 6174
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