正文:不等式是中學數學中的重要內容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數學歸納法，利用二項式定理和變數代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數學知識進行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。
利用函式的單調性證明不等式，首先引入下面的定理：
定理1：設有兩個函式f(x)與g(x),滿足：
（1）在閉區間[a,b]上連續；
（2）在開區間（a,b)內可導有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)（3）在端點有f(a)=g(a) (或f(b)=g(b));
則在(a,b)開區間內f(x)>g(x)成立。
例1：求證：ex-1>x (當x>0時)
從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數形式，如用初等代數來證明則有一定的難度，如用高等數學中上面的定理則非常直觀。
分析1：要證ex-1>x，可以設f(x)=ex-1,g(x)=x 這樣就轉化成定理1的形式。
證明：設f(x)=ex-1,g(x)=x
並且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續，並在(0,∞)可導
有：f'(x)=ex >g'(x)=1 (當x>0)
並有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1
即：f'(0)=g'(0)
所以根據定理1有：f(x)>g(x) 即：ex-1>x
這樣通過高等數學中的導數和函式的基本性質就可以證明。
另外，也可以將不等式轉化成：ex-x-1>0，證明方法同上（略）。
如果不等式中的次數較高，形式也比較複雜，這可能需要多次轉化，才能達到目標，通過下面的例子不難看出這一點。
例2：設a>ln2-1為任一常數，求證：當x>0時,有x2-2ax+1分析：要證：x2-2ax+10
不妨設：f(x)=ex-x2+2ax-1
有：f(0)=0
則：f'(x)=ex-2x+2a
現在只需證明：f'(x)>0即可證明f(x)>0
下面分析證明：f'(x)>0
設g(x)=f'(x)=ex-2x+2a
有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln >0 (a>ln2-1)
又因：g'(x)=ex-2
所以現在只需證：g'(x)≥0就可以證明g(x)>0.
即需要證：ex≥2
ⅰ.當x≥ln2時成立.
ⅱ.下面考察：當 00
g(x)=f'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0
所以：g(x)在x=ln2時為極值點，且為極小值。
這樣只要說明：g(ln2)>0即可。
又因：2-2ln2+2a>0 (當a>ln2-1時）
所以：在00.
綜上所述，可知f'(x)>0.所在在證明不等式過程中連續兩次用到求導。
有時在證明不等式時，如用初等數學知識則比較困難，如果我們能巧妙地建構函式，這樣可使問題得以簡化，其中判斷函式的單調性，我們利用了高等數學中的導數知識很容易地就解決了。下面利用高等數學中的拉格朗中值定理進行不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理：
定理2：若函式f(x)滿足下列條件：
（1）f(x)在[a,b]並閉區間上連續；
（2）f(x)在(a,b)開區間內可導；
則至少存在一點ξ∈（a,b),使得
f '(ξ)=成立。
例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a |
分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設其中乙個為較大者，則a,b可組成乙個區間。再分析sinx函式在該區間內的性質可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。
證明：若a＝b,則等號成立。
若a≠b,不妨設a＜b.
設f(x)=sinx 則f '(x)=cosx
則拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈（a,b) 使得：
f '(ξ) = cosξ=
又因為：|cosξ|≤1
所以 | sinb-sina| ≤| b-a |
從上面的定理和證明中，我們不難發現在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時，可用此定理，使得證明得以簡化，其中我們應靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進行不等式的證明。
利用定積分的有關知識進行不等式的證明
在不等式的證明中，我們經常會發現，有些不等式是求和的形式，這裡我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關的性質使問題得以解決，下面的分析不難發現這一點。
例4：對任意正整數n>1
求證： <()n +()n + ()n +…… +()n < 2
分析：不等式中()n +()n + ()n +…… +()n 的形式比較複雜，但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。
設f(x)=xn
(其中x可看出：x∈(0,1) 則不等式的和為xndx,從下圖可看出：
根據函式的凸凹性和定積分的定義可證此題。
證明：設f(x)=xn , x∈(0,1)
因為n≥2,可知f(x)為單調遞增的凹函式，(如上圖所示）則有：
= [()n + ()n + ()n +…… +()n ]< xndx=
所以：()n + ()n + ()n +…… +()n <
所以：()n + ()n + ()n +…… +()n < +1< 2
又因為： [()n + ()n + ()n +……+()n +()n +()n ] > nxndx
所以[()n + ()n + ()n +…… +()n +()n - ()n >
所以： +<()n + ()n + ()n +…… +()n
即： < ()n + ()n + ()n +…… +()n < 2
在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函式的的一些性質。上面的幾個例子中都利用了函式，由此可見函式在不等式的證明中起著非常關鍵的作用，函式的構造和對函式的分析，其中函式單調性的判斷利用了高等數學中的導數的知識使問題簡化，其次本文利用高等數學中的拉格朗日中值定理進行不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進行不等式的證明，以上的問題表明高等數學在不等式的證明方面存在著很大的優勢，我們還需進一步的學習和研究。
[1]《高初數學結合講義 》 首都師範大學張海山教師
[2]《數學分析講義》 高等教育出版社
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