證明線段相等的常用方法
宿城區中揚中學張家旭
一、 證明兩線段是全等三角形的對應邊
例1、 如圖（1），△abc是邊長為a的等邊三角形，沿長bc到d，使cd=b，沿長ba到e，使ae=a+b，鏈結ec、ed。求證 ce=de
如圖（1如圖（2如圖（3）
證明：沿長bd到f 使df=a 則bf=2a+b 而be=2a+b
∴bf=be又∠b=60bef為等邊三角形
∴be=ef而∠b=∠fbc=df
∴△bec ≌△fedce=de
例2、如圖（2）、 b、c、d在一直線上，△abc與△ecd都是等邊三角形，be、ad分別交ac、ec於點g、f。求證 cg=cf
證明：在△acd與△bce中， ac=bc ∠acd=∠bce=120°
cd=ceacd≌△bce1 = ∠2
∴ 在△acf與△bcg中， 有 ∠1 = ∠2 ac=bc ∠acf =∠bcg
∴ △acf≌△bc`gcg=cf
二、證明兩線段都等於第三線段或者第三個量
例3、 圖（3）， 梯形abcd中， ad∥bc， ab=cd， ac、bd相交於oboc=60°，e、f、g分別為ao、bo、cd的中點。
求證：△efg為等邊三角形。
證明： ∵abcd為等腰梯形 ∴ab=cd 可知 △abc≌△dcbacb=∠dbc ∵∠boc=60°, ∴∠bco=∠cbo=60鏈結de，可知de⊥ao而dg=gc ∴eg=cd=ab=ef同理 ef=fgefg是等邊三角形。
例4、如圖（4），正方形abcd中，e為bc上一點，且ae=cd+ce，af為∠ead的平分線。求證 df=cf。
如圖（4如圖（5如圖（6）
證明：在ae上擷取ah=ad， 連fh、fe
則△adf≌△ahffhe=90° df=fh ah=ad
又因為 ce=ae-cd=ae-ah=he
∴△fce≌△fhe ∴fh=fc ∴df=fc
三、 證明兩線段是乙個三角形的等角的對邊
例5、如圖（5），在△abc中，∠abc=90°，∠1=∠2，bd⊥ac於d，
fh⊥ac於h。 求證behf是菱形。
證明：∵∠1=∠2 bd⊥ac fh⊥ac
可知∠4=∠bef=∠bfe be∥fh ∴be=bf
又bf=hfbe=hfbghf為菱形
四、 證明兩線段是平行四邊形的對邊或者是對角線交點所分的兩部分
例6、如圖（6），e、f是平行四邊形abcd對角線b、d上兩點，且be=df，
求證：ae=cf
證明：鏈結ac設ac與bd的交點為o， ∵abcd是平行四邊形
∴ob=odoa=oc又∵be=df
∴oe=of四邊形aecf是平行四邊形
∴ae=cf
五、 利用平行線等分線段定理來證
例7、如圖（7），cp為⊙o的切線，pab為割線，cod為直徑，自a作po的平行線分別交cd、bd於e、f。
求證：ae=ef
證明：作om⊥ab 則am=bm 連cm、em、ca
∵∠pco=∠amo=90° ∴p、c、m、o四點共圓
∴∠mco=∠opb=∠bae ∴ a、c、m、e四點共圓
∴∠ame=∠ace=∠abf ∴me∥bf
∴ae=ef
六、 利用平行線分線段成比例定理來證
例8、如圖（8），梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd。o是對角線ac、bd的交點，ef過點0並且平行於ad。求證：oe=of
如圖（7如圖（8如圖（9）
證明：∵ad∥bc∥efoe/bc=ae/ab of/bc=df/dc
又由於ae/ab=df/dcoe/bc=of/bc
∴oe=of
七、 用代數方法通過計算來證明
例9、如圖（9）△abc中，d、e為bc上的任意兩點，dm⊥ab，dn⊥ac，es⊥ab，er⊥ac，且dm+dn=es+er 求證：ab=ac
證明： △abd面積+△acd面積=△abe面積+△ace面積
∵dm⊥ab，dn⊥ac，es⊥ab，er⊥ac
∴ab·dm+ac·dn=ab·es+ac·er
∴ab(es-dm)=ac(dn-er) ∵ dm+dn=es+er
∴es-dm=dn-erab=ac
八、利用線段垂直平分線的性質定理來證明
例10、如圖（10），ac=ad，bc=bd，e是ab上任意一點，求證 ec=ed
（如圖）（10）
證明：∵ ac=ad，bc=bdab是線段cd的垂直平分線
又 e**段ab上ec=ed
郵編 ： 223800
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0527-84946143（住宅）
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