江蘇劉洋
有關《推理與證明》中的問題蘊含著許多數學思想，若根據題設特點，靈活地運用相應的數學思想，往往能迅速找到解題思路，從而使問題簡捷、準確地獲解．
一、模擬思想
所謂模擬思想就是根據兩個物件之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個物件之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式．「由特殊到一般」是解決這類問題的思維主線．
例1 已知，且．
求證：．
分析：我們可先把它模擬為一簡單題目：「已知，，且，求證：．」該題的證明思路為：∵，∴，則，即，∴．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法，這正是要尋找的證明原命題的思路和方法．
證明：由基本不等式有，
則，∴，
即．∴．
二、轉化思想
轉化思想就是在解決數學問題時，將有待解決的問題，通過某種轉化，歸結為乙個已經解決或比較容易解決的問題，並通過對這一問題的解答返回去求得原問題的解答．例如分析法是證明命題的一種方法，當問題直接證明思路不明顯時，常常考慮運用分析法．而運用分析法解題的關鍵是將結論適當轉化．
例2 設實數滿足，若，求證：．
分析：直接證明思路不明顯，因此可以先結合條件將結論適當轉化．由，只需轉化為證．又，因此只需轉化為證明．再由轉化為證明．因此運用分析法即可簡捷得證．
證明：要證，
因為，所以只需證，
又，因此只需證，
只需證，即證． ①
①式顯然成立． 故原不等式成立．
點評：本題在尋找使結論成立的條件①時，是先根據函式的單調性，將對數不等式、指數不等式逐步轉化為①，從而把問題化難為易．
三、正難則反思想
有些問題當從正面求解繁瑣或無法求解時，可從其反面進行思考，通過否定結論的反面來肯定結論正確，這就是正難則反的思想．運用這一數學思想解決問題，往往能收到化難為易、化繁為簡的奇效．反證法就是「正難則反」的一種證明方法，它不是直接證明命題結論正確，而是通過證明結論反面不正確來說明結論的正確性．因而對於那些「結論的反面」比結論本身更具體、更明確、更簡單的命題，則適宜用反證法來證．
例3 設函式的定義域是區間，，且對、，，均有，求證：對、，，均有．
分析：因直接證明較為困難，於是考慮使用反證法．
證明：假設、，，使得．
不妨設，則．
所以．又由條件可得．
這與假設矛盾，故原命題成立．
點評：運用反證法證題時，須注意三點：
（1）必須周密考察原結論，防止否定有所遺漏；
（2）推理過程必須完全正確，否則不能判定非命題是錯誤的；
（3）在推理過程中，可以使用已知條件，推出的矛盾必須很明確、毫不含糊．
四、歸納遞推思想
歸納遞推思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然後用數學歸納法予以證明．這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是「觀察———歸納———猜想———證明」，解題的關鍵在於正確的歸納猜想．
例4 已知點的序列，，其中，，是線段的中點，是線段的中點，，是線段的中點，．
（1）寫出與、之間的關係式；
（2）設，計算，，，由此推測數列的通項公式．
分析：利用遞推公式及歸納猜想是解題的關鍵．
解：（1）當時，；
（2）；；
；由此推測：（可用數學歸納法證明）．
高考數學複習推理與證明推理與證明
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學科網備戰高考數學推理與證明 考點定位 2010考綱解讀和近幾年考點分布 推理與證明是數學的基礎思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結論和發現結論 探索和提供思路的作用，有利於創新意識的培養。證明包括直接證明與間接證明...
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