24.1 圓
1.圓的定義
定義①：在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的圖形叫做圓．固定的端點o叫做圓心，線段oa叫做半徑．以o點為圓心的圓，記作「⊙o」，讀作「圓o」．
定義②：圓可以看做是所有到定點o的距離等於定長r的點的集合．
2.與圓有關的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．
連線圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大於半圓的弧叫做優弧，小於半圓的弧叫做劣弧．
3.圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．
4.垂直於弦的直徑
（1）垂徑定理
平分弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧．
推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧．
5.圓心角、弧、弦的關係
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的「弧」是指同為優弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關係
三者關係可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項「知一推二」，一項相等，其餘二項皆相等．這源於圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，選擇其有關部分．
6.圓周角
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①定點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
1（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關問題時，常常需要新增輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關係進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其「橋梁」---圓心角轉化．③定理成立的條件是「同一條弧所對的」兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
7.圓內接四邊形的性質：
①圓內接四邊形的對角互補．
②圓內接四邊形的對邊和相等．
圓內接四邊形的性質是溝通角相等關係的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．
8.相交弦定理
（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．
幾何語言：若弦ab、cd交於點p，則papb=pcpd（相交弦定理）
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若ab 是直徑，cd垂直ab於點p，則pc2=papb（相交弦定理推論）．
24.2 點、直線和圓的位置關係
1.點和圓的位置關係
（1）點與圓的位置關係有3種．設⊙o的半徑為r，點p到圓心的距離op=d，則有：
①點p在圓外d＞r
②點p在圓上d=r
①點p在圓內d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關係，反過來已知點到圓心距離與半徑的關係可以確定該點與圓的位置關係．
（3）符號「」讀作「等價於」，它表示從符號「」的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
2.確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定乙個圓．
注意：這裡的「三個點」不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫乙個圓．「確定」一詞應理解為「有且只有」，即過不在同一條直線上的三個點有且只有乙個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫乙個圓．
3.三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①「接」是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找乙個三角形的外心，就是找乙個三角形的兩條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有乙個，而乙個圓的內接三角形卻有無數個．
4.反證法
（1）對於乙個命題，當使用直接證法比較困難時，可以採用間接證法，反證法就是乙個間接證法．反證法主要適合的證明型別有：①命題的結論是否定型的．②命題的結論是無限型的．③命題的結論是「至多」或「至少」型的．（2）反證法的一般步驟是：
①假設命題的結論不成立；
②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；
③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．
5.直線和圓的位置關係
（1）直線和圓的三種位置關係：
①相離：一條直線和圓沒有公共點．
②相切：一條直線和圓只有乙個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點．
③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．
（2）判斷直線和圓的位置關係：設⊙o的半徑為r，圓心o到直線l的距離為d．
①直線l和⊙o相交d＜r
②直線l和⊙o相切d=r
③直線l和⊙o相離d＞r．
6.切線的性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直於經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
（2）切線的性質可總結如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那麼它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質的運用
由定理可知，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．
7.切線的判定
（1）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
（2）在應用判定定理時注意：
①切線必須滿足兩個條件：a、經過半徑的外端；b、垂直於這條半徑，否則就不是圓的切線．
②切線的判定定理實際上是從」圓心到直線的距離等於半徑時，直線和圓相切「這個結論直接得出來的．
③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等於半徑，可簡單的說成「無交點，作垂線段，證半徑」；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連線過該公共點的半徑，證明該半徑垂直於這條直線，可簡單地說成「有交點，作半徑，證垂直」．
8.切線的判定與性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直於經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
（2）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
（3）常見的輔助線的：
①判定切線時「連圓心和直線與圓的公共點」或「過圓心作這條直線的垂線」；
②有切線時，常常「遇到切點連圓心得半徑」．
9.弦切角定理
（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的一半．
如右圖所示，直線pt切圓o於點c，bc、ac為圓o的弦，則有∠pca=∠pbc（∠pca為弦切角）．
10.切線長定理
（1）圓的切線定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這
點到圓的切線長．
（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的
連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段
的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
（4）切線長定理包含著一些隱含結論：
①垂直關係三處；
②全等關係三對；
③弧相等關係兩對，在一些證明求解問題中經常用到．
11.切割線定理
（1）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．
幾何語言：
∵pt切⊙o於點t，pba是⊙o的割線
∴pt的平方=papb（切割線定理）
（2）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．
幾何語言：
∵pba，pdc是⊙o的割線
∴pdpc=papb（切割線定理推論）（割線定理）
由上可知：pt2=papb=pcpd．
12.三角形的內切圓與內心
（1）內切圓的有關概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．
（2）任何乙個三角形有且僅有乙個內切圓，而任乙個圓都有無數個外切三角形．
（3）三角形內心的性質：
三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．
13.圓與圓的五種位置關係
（1）圓與圓的五種位置關係：①外離；②外切；③相交；④內切；⑤內含．
如果兩個圓沒有公共點，叫兩圓相離．當每個圓上的點在另乙個圓的外部時，叫兩個圓外離，當乙個圓上的點都在
另一圓的內部時，叫兩個圓內含，兩圓同心是內含的乙個特例；如果兩個圓有乙個公共點，叫兩個圓相切，相切分為內切、外切兩種；如果兩個圓有兩個公共點叫兩個圓相交．
（2）圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數量之間的關係：①兩圓外離d＞r+r；
②兩圓外切d=r+r；
③兩圓相交r-r＜d＜r+r（r≥r）；
④兩圓內切d=r-r（r＞r）；
⑤兩圓內含d＜r-r（r＞r）．
14.相切兩圓的性質
相切兩圓的性質：如果兩圓相切，那麼連心線必經過切點．
這說明兩圓的圓心和切點三點共線，為證明帶來了很大方便．
15.相交兩圓的性質
（1）相交兩圓的性質：
相交兩圓的連心線（經過兩個圓心的直線），垂直平分兩圓的公共弦．
注意：在習題中常常通過公共弦在兩圓之間建立聯絡．
（2）兩圓的公切線性質：
兩圓的兩條外公切線的長相等；兩圓的兩條內公切線的長也相等．
兩個圓如果有兩條（內）公切線，則它們的交點一定在連心線上．
24.3正多邊形和圓
1.正多邊形與圓的關係
把乙個圓分成n（n是大於2的自然數）等份，依次連線各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
24.4 弧長和扇形面積
1.弧長的計算
（1）圓周長公式：c=2πr
（2）弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為r）
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度後再計算弧長．
③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一．
2.扇形面積計算
（1）圓面積公式：s=π
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為s，則
s扇形=nπr2360或s扇形=12lr（其中l為扇形的弧長）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；②和差法；③割補法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．
3.圓錐的計算
（1）連線圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連線頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於圓錐的母線長．
（3）圓錐的側面積：s側=2πrl=πrl
（4）圓錐的全面積：s全=s底+s側=πr2+πrl
（5）圓錐的體積=×底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開後所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長與展開後所得扇形的弧長相等．
4.圓柱的計算
（1）圓柱的母線（高）等於展開後所得矩形的寬，圓柱的底面周長等於矩形的長．
（2）圓柱的側面積=底面圓的周長×高
（3）圓柱的表面積=上下底面面積+側面積
（4）圓柱的體積=底面積×高．6
第二十四章圓知識點結
普安縣高棉中學初三 3 班王光金 本章知識結構框圖 本章知識點 1 圓的定義 圓有兩種定義方式 在乙個平面內線段 繞它固定的乙個端點 旋轉一周，另乙個端點 隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點 叫做圓心，線段 叫做半徑。圓是所有點到定點 的距離等於定長 的點的集合。注意 定義 是描述性定義，定義 ...
第二十四章圓
九年級數學測試題 姓名班級學號得分 一 選擇題 每題3分，共30分 1 半徑等於12的圓中，垂直平分半徑的弦長為 a b c d 2 如圖，把自行車的兩個車輪看成同一平面內的兩個圓，則它們的位置關係是 a.外離 b.外切c.相交d.內切 3 如圖，在 o中，abc 50 則 aoc等於 a 50b ...
第二十四章圓 小結與複習
學習目標 1 了解圓的有關概念，探索並理解垂徑定理，探索並認識圓心角 弧 弦之間的相等關係的定理，探索並理解圓周角和圓心角的關係定理 2 探索並理解點和圓 直線與圓以及圓與圓的位置關係 了解切線的概念，探索切線與過切點的直徑之間的關係，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線 3 進一步...