普安縣高棉中學初三（3）班王光金
ⅰ、本章知識結構框圖：
ⅱ、本章知識點：
1、圓的定義：
圓有兩種定義方式：（１）在乙個平面內線段ｏａ繞它固定的乙個端點ｏ旋轉一周，另乙個端點ａ隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點ｏ叫做圓心，線段ｏａ叫做半徑。
（２）圓是所有點到定點ｏ的距離等於定長ｒ的點的集合。
注意：定義（１）是描述性定義，定義（２）揭示了圓的本質，一方面說明圓上各點到定點（圓心ｏ）的距離等於定長（半徑ｒ的長），另一方面說明到定點的距離等於定長的點都在圓上。確定乙個圓有２個元素，乙個是圓心，乙個是半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
２、和圓相關的概念：
（１）弦：鏈結圓上任意兩點的線段；（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑是圓中最長的弦）
（２）直徑：經過圓心的弦；
（３）弧：圓上任意兩點間的部分；（弧的度數等於這條弧所對的圓心角的度數，等於這條弧所對圓周角的兩倍）
（４）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
（５）優弧：大於半圓的弧，用三個大寫字母表示；
（６）劣弧：小於半圓的弧，用兩個大寫字母表示；
（７）弓形由弦及其所對的弧組成的圖形；
（８）等圓：能夠重合的兩個圓；
（９）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧；
（１０）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓；
（１１）圓心角：定點是圓心的角；
（１２）圓周角：頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角；
（１３）弦心距：圓心到弦的距離。
注意：（１）直徑等於半徑的２倍；
（２）同圓或等圓的半徑相等；
（３）等弧必須是同圓或等圓中的弧；
（４）弧長相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長必相等。
３、圓心角的定義及性質：
（１）圓心角的定義：
定點是圓心的角叫做圓心角。
（２）圓心角、弦、弧的有關定理：
①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；
②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼這兩條弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；
③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼這兩條弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。
4、圓周角的定義及性質：
（１）圓周角的定義：
頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
注意：（１）圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可；
（２）圓周角和圓心角的相同點：兩邊都和圓相交；
不同點：圓心角的頂點在圓心；圓周角的頂點在圓上。
（２）圓周角的性質：
①一條弧所對的圓周角等於該弧所對的圓心角的一半；
②在同圓或等圓中，同弧（或等弧）所對的圓周角相等；
③在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；
④半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等於９０°（直角）；
⑤９０°的圓周角所對的弦是圓的直徑，所對的弧是半圓；
⑥如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
5、垂徑定理與推理：
（１）垂徑定理：
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
注意：這個結論中涉及圓中不是直徑的弦與直徑所在直線的關係，如果圓的一條非直徑的弦和一條直線滿足以下五個條件中的任意兩個，那麼它一定滿足其餘三個：（１）直線過圓心；（２）直線垂直於弦；（３）直線平分弦；（４）直線平分弦所對的劣弧；（５）直線平分弦所對的優弧，也可簡單地理解為「二推三」。
（２）垂徑定理的推論：
平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
6、圓的對稱性：
（１）圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。
將圓周繞圓心旋轉１８０°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心，將圓周繞圓心旋轉任意一角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性，是旋轉對稱的特例。
經圓心畫任意一條直線，並沿此直線將圓對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以圓有無數條對稱軸。
（２）在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係：
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中，有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量也分別相等。
注意：運用本知識時應注意其成立的條件：「在同圓或等圓中」，也可簡單地理解為「一推三」。
７、點與圓的位置關係：
點與圓有三種位置關係：點在圓外、點在圓上、點在圓內。
設⊙ｏ的半徑為ｒ，點到圓心ｏ的距離為ｄ，則有：
點在圓外ｄ＞ｒ；
點在圓上ｄ＝ｒ；
點在圓內ｄ＜ｒ。
注意：可以根據點到圓心的距離與圓的半徑的大小比較來確定點與圓的位置關係。
８、確定圓的條件：
過乙個點可以作無數個圓；過兩個點可以作無數個圓，這些圓的圓心在連線這兩個點的線段的垂直平分線上；過在同一條直線上的三個點不能作圓；過不在同一直線上的三個點可確定乙個圓。
９、三角形的外接圓及外心：
經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。
注意：（１）三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點；三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，任何三角形有且只有乙個外接圓，任何乙個圓有無數個內接三角形；
（２）銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑等於斜邊的一半；鈍角三角形的外心在三角形的外部。
１０、圓的內接四邊形：
如果乙個四邊形的各個頂點都在同乙個圓上，這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。
定理：圓的內接四邊形的對角互補，並且任何乙個外角都等於它的內對角。
注意：圓的內接平行四邊形是矩形；圓的內接梯形是等腰梯形。
１１、直線與圓的位置關係：
直線與圓有三種位置關係：相交、相切、相離。
（１）直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交，這時直線叫做圓的割線；
（２）直線和圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點；
（３）直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。
若⊙ｏ的半徑為ｒ，圓心ｏ到直線ｌ的距離為ｄ，則直線與圓的位置關係、交點個數及ｄ與ｒ的數量關係如下表：
注意：可以根據圓心到直線的距離ｄ與圓的半徑ｒ的大小比較來判定直線與圓的位置關係。
１２、切線的判定與性質：
（１）切線的判定定理：
經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線必須滿足兩個條件：①經過半徑的外端；②垂直於這條半徑。兩個條件缺一不可。
注意：在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證題方法是「連半徑，證垂直」；若直線與圓的公共點未知，證題方法是作垂線，證半徑。這兩種情況可概括為一句話：
「有點連半徑，無點作垂線」。
（２）切線的性質定理：
圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論：①經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點；②經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
注意：圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及了一條直線的三條性質：①垂直於切線；②過圓心；③過切點。
如果一條直線滿足以上三個條件中的任意兩個，那它一定滿足另外乙個條件，也可以簡單地理解為「二推一」。
１３、三角形的內切圓和內心：
（１）定義：
與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。
（２）性質：
三角形的內心是三角形三內角的角平分線的交點，三角形的內心到三角形三邊的距離相等。
注意：任意三角形有且只有乙個內切圓，內心一定在三角形內，任意乙個圓有無數個外切三角形；如果三角形三邊長分別為ａ、ｂ、ｃ，內切圓半徑為r，則三角形的面積
１４、切線長定理：
（１）定義：
在經過圓外一點的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。
（２）定理：
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
注意：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。
１５、圓與圓的位置關係：
在平面內，兩圓做相對運動，可以得到下面不同的位置關係：
（１）兩圓外離：兩個圓沒有公共點，並且每個圓上的點都在另乙個圓的外部；
（２）兩圓外切：兩圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另乙個圓的外部；
（３）兩圓相交：兩圓有兩個公共點；
（４）兩圓內切：兩圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，乙個圓上的點都在另乙個圓的內部；
（５）兩圓內含：兩圓沒有公共點，並且乙個圓上的點都在另乙個圓的內部；
（６）同心圓：兩圓同心是兩圓內含的一種特例。
１６、兩圓的位置關係、數量關係及識別方法：
設兩圓的半徑分別為ｒ和ｒ，圓心距（圓心之間的距離）為ｄ。
注意：（１）上表中，兩圓內含時，如果ｄ＝０，則這兩個圓同心，這是內含的一種特殊情況；
（２）上表中的形與數、數與數均可作等價轉換；
（３）兩圓公共點個數為０時要分內含與外離兩種情況；兩圓公共點個數為１時要分內切與外切兩種情況。
１７、兩圓相交的性質：
相交兩圓的連心線垂直平方兩圓的公共弦。
注意：在題目的已知條件中，若有「兩圓相交」的條件時，常常作兩圓的公共弦，通過公共弦使之出現同弧上的圓周角或構成圓內接四邊形進而溝通兩圓中角之間的關係。
１８、兩圓相切的性質：
如果兩圓相切，那麼切點一定在連心線上。
注意：在題目已知條件中，若有「兩圓相切」的條件時，經常過切點作兩圓的公切線，這樣通過弦切角溝通兩圓中角之間的關係。
１９、弧長的計算：
（１）圓周長公式：
ｃ＝２πｒ（ｒ為圓的半徑）
（２）弧長公式：
ｌ＝ （ｎ為弧所對的圓心角度數，不帶單位，ｒ為圓的半徑）
２０、扇形面積的計算：
（１）扇形的定義：
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。
（２）圓的面積公式：
ｓ＝πｒ（ｒ為圓的半徑）
（３）扇形的面積公式：
ｓ扇形＝ ＝ｌｒ（ｒ為扇形所在圓的半徑，ｌ為扇形的弧長）
注意：在運用扇形的面積公式時，應注意以下幾點：
（１）公式中的ｎ與弧長公式中的ｎ一樣，ｎ表示１°的圓心角的倍數，不帶單位；
（２）扇形面積公式ｓ扇形＝ｌｒ與內切圓中的三角形面積公式十分類似；
第二十四章圓知識點
24.1 圓 1.圓的定義 定義 在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的圖形叫做圓 固定的端點o叫做圓心，線段oa叫做半徑 以o點為圓心的圓，記作 o 讀作 圓o 定義 圓可以看做是所有到定點o的距離等於定長r的點的集合 2.與圓有關的概念 弦 直徑 半徑 弧 半圓...
第二十四章圓
九年級數學測試題 姓名班級學號得分 一 選擇題 每題3分，共30分 1 半徑等於12的圓中，垂直平分半徑的弦長為 a b c d 2 如圖，把自行車的兩個車輪看成同一平面內的兩個圓，則它們的位置關係是 a.外離 b.外切c.相交d.內切 3 如圖，在 o中，abc 50 則 aoc等於 a 50b ...
第二十四章圓 小結與複習
學習目標 1 了解圓的有關概念，探索並理解垂徑定理，探索並認識圓心角 弧 弦之間的相等關係的定理，探索並理解圓周角和圓心角的關係定理 2 探索並理解點和圓 直線與圓以及圓與圓的位置關係 了解切線的概念，探索切線與過切點的直徑之間的關係，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線 3 進一步...