平面直角座標系
二、知識要點梳理
知識點一:有序數對
比如教室中座位的位置,常用「幾排幾列」來表示,而排數和列數的先後順序影響座位的位置,因此用有順序的兩個數a與b組成有序數時,記作(a,b),表示乙個物體的位置。我們把這種有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對,記作: (a,b).
要點詮釋:
對「有序」要準確理解,即兩個數的位置不能隨意交換,(a,b)與(b,a)順序不同,含義就不同,表示不同位置。
知識點二:平面直角座標系以及座標的概念
1.平面直角座標系
在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角座標系。水平的數軸稱為x軸或橫軸,習慣上取向右為正方向;豎直的數軸稱為y軸或縱軸,取向上方向為正方向,兩座標軸的交點為平面直角座標系的原點(如圖1)。
注:我們在畫直角座標系時,要注意兩座標軸是互相垂直的,且有公共原點,通常取向右與向上的方向分別為兩座標軸的正方向。平面直角座標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成的。
2.點的座標
點的座標是在平面直角座標系中確定點的位置的主要表示方法,是今後研究函式的基礎。在平面直角座標系中,要想表示乙個點的具體位置,就要用它的座標來表示,要想寫出乙個點的座標,應過這個點a分別向x軸和y軸作垂線,垂足m在x軸上的座標是a,垂足n在y軸上的座標是b,我們說點a的橫座標是a,縱座標是b,那麼有序數對(a,b)叫做點a的座標.記作:
a(a,b).用(a,b)來表示,需要注意的是必須把橫座標寫在縱座標前面,所以這是一對有序數。
注:①寫點的座標時,橫座標寫在前面,縱座標寫在後面。橫、縱座標的位置不能顛倒。
②由點的座標的意義可知:點p(a,b)中,|a|表示點到y軸的距離;|b|表示點到x軸的距離。
知識點三:點座標的特徵
l.四個象限內點座標的特徵:
兩條座標軸將平面分成4個區域稱為象限,按逆時針順序分別叫做第
一、二、
三、四象限,如圖2.這四個象限的點的座標符號分別是
2.數軸上點座標的特徵:
x軸上的點的縱座標為0,可表示為(a,0);
y軸上的點的橫座標為0,可表示為(0,b).
注意:x軸,y軸上的點不在任何乙個象限內,對於座標平面內任意乙個點,不在這四個象限內,就在座標軸上。座標軸上的點不屬於任何乙個象限,這一點要特別注意。
3.象限的角平分線上點座標的特徵:
第一、三象限角平分線上點的橫、縱座標相等,可表示為(a,a);
第二、四象限角平分線上點的橫、縱座標互為相反數,可表示為(a,-a).
注:若點p(a,b)在第
一、三象限的角平分線上,則a=b;
若點p(a,b)在第
二、四象限的角平分線上,則a=-b。
4.對稱點座標的特徵:
p(a,b)關於x軸對稱的點的座標為 (a,-b);
p(a,b)關於y軸對稱的點的座標為 (-a,b);
p(a,b)關於原點對稱的點的座標為 (-a,-b).
5.平行於座標軸的直線上的點:
平行於x軸的直線上的點的縱座標相同;
平行於y軸的直線上的點的橫座標相同。
6.各個象限內和座標軸上點的座標符號規律:
五、特殊位置點的特殊座標:
知識點四:簡單應用
l.用座標表示地理位置
根據已知條件,建立適當的平面直角座標系,是確定點的位置的必經過程,一般地只有建立了適當的直角座標系,點的位置才能得以確定,才能使數與形有機地結合在一起。利用平面直角座標系繪製區域內一些地點分布情況,也就是繪製平面圖的過程:
(1)建立座標系,選擇乙個適當的參照點為原點,確定x軸,y軸的正方向;
(2)根據具體問題確定適當的比例尺,在座標軸上標出單位長度;
(3)在座標平面內畫出這些點,寫出各點的座標和各個地點的名稱.
要點詮釋:
在建立平面直角座標系時,我們一般選擇那些使點的位置比較容易確定的方法,例如借助於圖形的某邊所在直線為座標軸等。在具體問題中要注意分析題目,靈活運用。而建立平面直角座標系的方法是不唯一的。
2. 用座標表示平移
(1)點的平移:
在平面直角座標系中,將點(x,y)向右或向左平移a個單位長度,可以得到對應點(x+a,y)或(x-a,y);將點(x,y)向上或向下平移b個單位長度,可以得到對應點(x,y+b)或(x,y-b)。
由上可歸納為:
①在座標系內,左右平移的點的座標規律:右加左減;
②在座標系內,上下平移的點的座標規律:上加下減;
③在座標系內,平移的點的座標規律:沿x軸平移縱座標不變,沿y軸平移橫座標不變.
(2)圖形的平移:
在平面直角座標系內,如果把乙個圖形各個點的橫座標都加上或減去乙個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向右或向左平移a個單位長度;如果把各個點的縱座標都加上或減去乙個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向上或向下平移了a個單位長度。
注:平移是圖形的整體位置的移動,圖形上各點都發生相同性質的變化,因此圖形的平移問題可以轉化為點的平移問題來解決。注意平移只改變圖形的位置,圖形的大小和形狀不發生變化.
三、規律方法指導
學習本章首先要理解好有序數對的概念,也就是在這裡的數不但表示大小,還表示方向.並且它的位置也是不能改變的.其次,平面直角座標系的引入,它是幫助我們研究事物的位置關係的乙個工具,那麼,對於點座標的特徵要熟練掌握,這樣對於解題和應用都有很大幫助.最後就是應用平面直角座標系解決實際問題,尤其是平移圖形,這裡學生一定要畫平面直角座標系,體會數形結合在數學中的作用,這是利用左右腦學習的最好方法.
平面直角座標系知識點
第三章位置與座標 知識鏈結 平面內特殊位置的點的座標特徵 1 各象限內點p a,b 的座標特徵 第一象限 a 0,b 0 第二象限 a 0,b 0 第三象限 a 0,b 0 第四象限 a 0,b 0 2 座標軸上點p a,b 的座標特徵 x軸上 a為任意實數,b 0 y軸上 b為任意實數,a 0 座...
平面直角座標系知識點
知識點一 有序數對 比如教室中座位的位置,常用 幾排幾列 來表示,而排數和列數的先後順序影響座位的位置,因此用有順序的兩個數a與b組成有序數時,記作 a,b 表示乙個物體的位置。我們把這種有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對,記作 a,b 要點詮釋 對 有序 要準確理解,即兩個數的位置不能隨意...
平面直角座標系知識點歸納總結
1 在平面內,兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成了平面直角座標系 2 座標平面上的任意一點p的座標,都和惟一的一對有序實數對 一一對應 其中,為橫座標,為縱座標座標 3 軸上的點,縱座標等於0 軸上的點,橫座標等於0 座標軸上的點不屬於任何象限 4 四個象限的點的座標具有如下特徵 小結 1 點p 所...