三角形專題訓練
【知識精讀】
1. 三角形的內角和定理與外角和定理； 2. 三角形中三邊之間的關係定理及其推論；
3. 全等三角形的性質與判定； 4. 特殊三角形的性質與判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性質與判定。
【分類解析】
1. 三角形內角和定理的應用
例1. 如圖1，已知中，於d，e是ad上一點。
求證：2. 三角形三邊關係的應用
例2. 已知：如圖2，在中，，am是bc邊的中線。
求證：3. 角平分線定理的應用
例3. 如圖3，∠b＝∠c＝90°，m是bc的中點，dm平分∠adc。
求證：am平分dab。
4. 全等三角形的應用
（1）構造全等三角形解決問題
例4. 已知如圖4，△abc是邊長為1的等邊三角形，△bdc是頂角（∠bdc）為
120°的等腰三角形，以d為頂點作乙個60°的角，它的兩邊分別交ab於m，交ac於n，鏈結mn。求證：的周長等於2。
（2）「全等三角形」在綜合題中的應用
例5. 如圖5，已知：點c是∠fae的平分線ac上一點，ce⊥ae，cf⊥af，e、f為垂足。
點b在ae的延長線上，點d在af上。若ab＝21，ad＝9，bc＝dc＝10。求ac的長。
5、中考點撥
例6. 如圖，在中，已知∠b和∠c的平分線相交於點f，過點f作de∥bc，交ab於點d，交ac於點e，若bd＋ce＝9，則線段de的長為（ ）
a. 9b. 8c. 7d. 6
6、題型展示
例7. 已知：如圖6，中，ab＝ac，∠acb＝90°，d是ac上一點，ae垂直bd的延長線於e，。
求證：bd平分∠abc
例8. 某小區結合實際情況建了乙個平面圖形為正三角形的花壇。如圖7，在正三角形abc花壇外有滿足條件pb＝ab的一棵樹p，現要在花壇內裝一噴水管d，點d的位置必須滿足條件ad＝bd，∠dbp＝dbc，才能使花壇內全部位置及樹p均能得到水管d的噴水，問∠bpd為多少度時，才能達到上述要求？
【實戰模擬】
1. 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm，則這個等腰三角形底邊的長為
2. 在銳角中，高ad和be交於h點，且bh＝ac，則∠abc
3. 如圖所示，d是的∠acb的外角平分線與ba的延長線的交點。試比較∠bac與∠b的大小關係。
4. 如圖所示，ab＝ac，∠bac＝90°，m是ac中點，ae⊥bm。
求證：∠amb＝∠cmd
5. 設三個正數a、b、c滿足，求證：a、b、c一定是某個三角形三邊的長。
【試題答案】
1. 5cm
2. 45°
3. 分析：如圖所示，∠bac是的外角，所以
因為∠1＝∠2，所以∠bac＞∠2
又因為∠2是的外角，所以∠2＞∠b，問題得證。
答：∠bac＞∠b
∵∠cd平分∠ace，∴∠1＝∠2
∵∠bac＞∠1，∴∠bac＞∠2
∵∠2＞∠b，∴∠bac＞∠b
4. 證明一：過點c作cf⊥ac交ad的延長線於f
又∠bac＝∠acf＝90°
ac＝ab
又am＝mc，∴mc＝cf
又∠3＝∠4＝45°，cd＝cd
證明二：過點a作an平分∠bac交bm於n
又an平分∠bac
又ab＝ac
又am＝cm
說明：若圖中所證的兩個角或兩條線段沒有在全等三角形中，可以把求證的角或線段用和它相等的量代換。若沒有相等的量代換，可設法作輔助線構造全等三角形。
5. 證明：由已知得：
即是某一三角形三邊的長。
1.證明：由ad⊥bc於d，可得∠cad＝∠abc
又則可證即說明：在角度不定的情況下比較兩角大小，如果能運用三角形內角和都等於180°間接求得。
2.證明：延長am到d，使md＝am，連線bd
在和中，
在中，，而
說明：在分析此問題時，首先將求證式變形，得，然後通過倍長中線的方法，相當於將繞點旋轉180°構成旋轉型的全等三角形，把ac、ab、2am轉化到同一三角形中，利用三角形三邊不等關係，達到解決問題的目的。很自然有。
請同學們自己試著證明。
3.證明：過m作mg⊥ad於g，∵dm平分∠adc，mc⊥dc，mg⊥ad
∴mc＝mg（在角的平分線上的點到角的兩邊距離相等）
∵mc＝mb，∴mg＝mb
而mg⊥ad，mb⊥ab
∴m在∠adc的平分線上（到乙個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）
∴dm平分∠adc
說明：本題的證明過程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運用創造了條件mg＝mb。同時要注意不必證明三角形全等，否則就是重複判定定理的證明過程。
4. 分析：欲證的周長等於2，需證明它等於等邊的兩邊的長，只需證。採用旋轉構造全等的方法來解決。
證明：以點d為旋轉中心，將順時針旋轉120°，點b落在點c的位置，點m落在m'點的位置。
得：∠mbd＝∠ncd＝90°
∴∠ncd與∠dcm'構成平角，且bm＝cm'，dm＝dm'，∠ndm'＝∠ndc＋∠cdm'＝∠ndc＋∠bdm＝120°－60°＝60°
在和中，
的周長說明：通過旋轉，使已知圖形中的角、線段充分得到利用，促進了問題的解決。
5.分析：要求ac的長，需在直角三角形ace中知ae、ce的長，而ae、ce均不是已知長度的線段，這時需要通過證全等三角形，利用其性質，創設條件證出線段相等，進而求出ae、ce的長，使問題得以解決。
解：∵ac平分∠fae，cf⊥af，ce⊥ae
∴cf＝ce
∴be＝df
設，則在中，在中，答：ac的長為17。
6.分析：初看此題，看到de＝df＋fe後，就想把df和fe的長逐個求出後再相加得de，但由於df與fe的長都無法求出，於是就不知怎麼辦了？
其實，若能注意到已知條件中的「bd＋ce＝9」，就應想一想，df＋fe是否與bd＋ce相關？是否可以整體求出？若能想到這一點，就不難整體求出df＋fe也就是de的長了。
解：∵bf是∠b的平分線
∴∠dbf＝∠cbf
又de∥bc
∴∠dfb＝∠cbf
∴∠bdf＝∠dfb
∴df＝bd
同理，fe＝ce
∴df＋fe＝bd＋ce＝9
即de＝9
故選a7.分析：要證∠abd＝∠cbd，可通過三角形全等來證明，但圖中不存在可證全等的三角形，需設法進行構造。注意到已知條件的特點，採用補形構造全等的方法來解決。
簡證：延長ae交bc的延長線於f
易證（asa或aas）
於是又不難證得
∴bd平分∠bac
說明：通過補形構造全等，溝通了已知和未知，開啟了解決問題的通道。
8.分析：此題是乙個實際問題，應先將實際問題轉化成數學問題，轉化後的數學問題是：
如圖7，d為正內一點，p為正外一點，pb＝ab，ad＝bd，∠dbp＝∠dbc，求∠bpd＝？在解此數學問題時，要用到全等三角形的知識。
解：連cd
又，即時，才能達到要求。
全等三角形證明經典
中考數學專練三角形的專題 1.已知 ab 4，ac 2，d是bc中點，ad是整數，求ad 1.已知 d是ab中點，acb 90 求證 2.已知 bc de，b e，c d，f是cd中點，求證 1 2 3.已知 1 2，cd de，ef ab，求證 ef ac 4.已知 ad平分 bac，ac ab ...
全等三角形經典證明
1.已知 ab 4，ac 2，d是bc中點，ad是整數，求ad 2.已知 bc de，b e，c d，f是cd中點，求證 1 2 3.已知 1 2，cd de，ef ab，求證 ef ac 4.已知 ad平分 bac，ac ab bd，求證 b 2 c 5.已知 ac平分 bad，ce ab，b d...
經典全等三角形證明
1 如圖，在 abc中，d是bc邊上的中點，f e分別是ad及其延長線上的點，且cf be 求證 cf be 2 已知 如圖，abc中，bd ac於d,ae bc於e,ad bd 1 若dc 3,ad 5,求bf的長 2 若ae是 abc的中線，ec 4,求af的長。3 已知 三角形abc中，a 9...