第二章有理數
一、正數和負數：
⒈正數和負數的概念：
⑴ 負數：比0小的數。
⑵ 正數：比0大的數0既不是正數，也不是負數。
注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：
帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）
②正數有時也可以在前面加「+」，有時「+」省略不寫。所以省略「+」的正數的符號是正號。
③0既不是正數，也不是負數。
2.具有相反意義的量：
若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：
零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃
3.0表示的意義：
⑴ 0表示「 沒有」，如教室裡有0個人，就是說教室裡沒有人；
⑵ 0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。
二、有理數：
1.有理數的概念：
⑴ 正整數、0、負整數統稱為整數（0和正整數統稱為自然數）；
⑵ 正分數和負分數統稱為分數；
⑶ 正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。
理解：只有能化成分數的數才是有理數。
①π是無限不迴圈小數，不能寫成分數形式，不是有理數。
②有限小數和無限迴圈小數都可化成分數，都是有理數。
注意：引入負數以後，奇數和偶數的範圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數，-1,-3,-5…也是奇數。
2.有理數的分類：
⑴按有理數的意義分類按正、負來分：
正整數正整數
整數 0正有理數
負整數正分數
有理數有理數 00不能忽視）
正分數負整數
分數負有理數
負分數負分數
總結：①正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）；
②負整數、0統稱為非正整數；
③正有理數、0統稱為非負有理數；
④負有理數、0統稱為非正有理數。
三、數軸：
⒈數軸的概念：規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。
注意：⑴ 數軸是一條向兩端無限延伸的直線；
⑵ 原點、正方向、單位長度是數軸三要素，三者缺一不可；
⑶ 同一數軸上的單位長度要統一；
⑷ 數軸的三要素都是根據實際需要規定的。
2.數軸上的點與有理數的關係：
⑴ 所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。
⑵ 所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關係。（如，數軸上的點π不是有理數）
3.利用數軸表示兩數大小：
⑴ 在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；
⑵ 正數都大於0，負數都小於0，正數大於負數；
⑶ 兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4.數軸上特殊的最大（小）數：
⑴ 最小的自然數是0，無最大的自然數；
⑵ 最小的正整數是1，無最大的正整數；
⑶ 最大的負整數是-1，無最小的負整數
5.a可以表示什麼數
⑴ a>0表示a是正數；反之，a是正數，則a>0；
⑵ a<0表示a是負數；反之，a是負數，則a<0
⑶ a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0
6.數軸上點的移動規律：
根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，則得到所需的點的位置。
四、相反數：
⒈相反數：
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中乙個是另乙個的相反數，0的相反數是0。
注意：⑴ 相反數是成對出現的；
⑵ 相反數只有符號不同，若乙個為正，則另乙個為負；
⑶ 0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
2.相反數的性質與判定：
⑴ 任何數都有相反數，且只有乙個；
⑵ 0的相反數是0；
⑶ 互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0。
3.相反數的幾何意義：
在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，並且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。
說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關於原點對稱。
4.相反數的求法：
⑴ 求乙個數的相反數，只要在它的前面添上負號「-」即可求得（如：5的相反數是-5）；
⑵ 求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添「-」，然後化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）。化簡得-5a-b）；
⑶ 求前面帶「-」的單個數，也應先加括號再添「-」，然後化簡(如：-5的相反數是-（-5），化簡得5)。
5.相反數的表示方法：
⑴ 一般地，數a 的相反數是-a ，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）
當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）
當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）
6.多重符號的化簡：
多重符號的化簡規律:「+」號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；「-」號的個數決定最後化簡結果；即：「-」的個數是奇數時，結果為負，「-」的個數是偶數時，結果為正。
五、絕對值：
1.絕對值的幾何定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
2.絕對值的代數定義：
⑴ 乙個正數的絕對值是它本身；
⑵ 乙個負數的絕對值是它的相反數；
⑶ 0的絕對值是0。
可用字母表示為：如果a>0，那麼|a|=a；如果a<0，那麼|a|=-a；如果a=0，那麼|a|=0。
可歸納為：①：a≥0，<═> |a|=a （非負數的絕對值等於本身；絕對值等於本身的數是非負數。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正數的絕對值等於其相反數；絕對值等於其相反數的數是非正數。）
3.絕對值的性質：
任何乙個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。⑴ 0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵ 乙個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0。即：|a|≥0；
⑶ 任何數的絕對值都不小於原數。即：|a|≥a；
⑷ 絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸ 互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹ 絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；
⑺ 若幾個數的絕對值的和等於0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
4.有理數大小的比較：
⑴利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大於負數。
5.絕對值的化簡：
①當a≥0時， |a|=a ； ②當a≤0時， |a|=-a
6.已知乙個數的絕對值，求這個數：
乙個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同乙個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。
六、有理數的加減法：
1.有理數的加法法則：
法則一：同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
法則二：絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；
法則三：互為相反數的兩數相加，和為零；
法則四：乙個數與零相加，仍得這個數。
2.有理數加法的運算律：
⑴ 加法交換律：a+b=b+a； ⑵ 加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：
① 相反數結合法：互為相反數的兩個數先相加；
② 同號結合法：符號相同的兩個數先相加；
③ 同分母結合法：分母相同的數先相加；
④ 湊整法：幾個數相加得到整數，先相加；
⑤ 同形結合法：整數與整數、小數與小數相加。
3.加法性質：
乙個數加正數後的和比原數大；加負數後的和比原數小；加0後的和等於原數。即：
⑴ 當b>0時，a+b>a； ⑵ 當b<0時，a+b4.有理數減法法則：
法則：減去乙個數，等於加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b)。
5.有理數加減法統一成加法的意義：
在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法後，再按照加法法則進行計算。
在和式裡，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作「負8、負7、負6、正5的和」
②按運算意義讀作「負8減7減6加5」
6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：
ⅰ.同號結合法：（把符號相同的加數相結合）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23將減法轉換成加法）
=-33+18-15-1+23省略加號和括號）
蘇教版七年級數學全冊知識點整理彙總
第二章 有理數 一 有理數 1 有理數的概念 凡能寫成形式的數，都是有理數，整數和分數統稱有理數。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。注意 0即不是正數，也不是負數 a不一定是負數，a也不一定是正數 不是有理數 2 有理數的分類 正整數正整數 整數 0正有理數 負整數正分數 ...
七年級數學蘇教版知識點總結
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七年級上冊數學知識點 有理數2.1 比0小的數 正數和負數 正數和負數的概念 負數 比0小的數正數 比0大的數 0既不是正數，也不是負數 注意 字母a可以表示任意數，當a表示正數時，a是負數 當a表示負數時，a是正數 當a表示0時，a仍是0。如果出判斷題 帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法...