1.1正數和負數
知識點1 正數和負數的概念
(1) 像3、1.5、、584等大於0的數,叫做正數,在小學學過的數,除0以外都是正數,正數比0大。
(2) 像-3、-1.5、、-584等在正數前面加「-」(讀作負)號的數,叫做負數。負數比0小。
(3) 零即不是正數也不是負數,零是正數和負數的分界。
注意:(1)為了強調,正數前面有時也可以加上「+」(讀作正)號,例如:3、1.5、也可以寫作+3、+1.5、+。
(2)對於正數和負數的概念,不能簡單理解為:帶「+」號的數是正數,帶「-」號的數是負數。例如:
-a一定是負數嗎?答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數,若a表示的是正數,則-a是負數;若a表示的是0,則-a仍是0;當a表示負數時,-a就不是負數了(此時-a是正數)。
知識點2 用正數、負數表示具有相同意義的量
正數和負數是根據實際需要而產生的,隨著社會的發展,小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要,比如一些有相反意義的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它們不但意義相反,而且表示一定的數量,怎樣表示它們呢?我們把一種意義的量規定為正的,把另一種和它意義相反的的量規定為負的,這樣就產生了正數和負數。
用正數和負數表示具有相反意義的量時,哪種意義為正,是可以任意選擇的,但習慣把「前進、上公升、收入、零上溫度」等規定為正,而把「後退、下降、支出、零下溫度」等規定為負。
1.2有理數
知識點1 有理數的有關概念
(1) 有理數:整數和分數統稱為有理數。
注:(1)有時為了研究的需要,整數也可以看作是分母為1的數,這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。
(2)因為分數與有限小數和無限迴圈小數可以互化,上述小數都可以用分數來表示,所以我們把有限小數和無限迴圈小數都看作分數。
(3)「0」即不是正數,也不是負數,但「0」是整數。
(2) 整數包括正整數、零、負整數。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
(3) 分數包括正分數和負分數,例如:、、0.6、-、-、-0.6等等。
知識點2 有理數的分類
(1) 按整數、分數的關係分類:
(2) 按正數、負數與0的關係分類:
注通常把正數和0統稱為非負數,負數和0統稱為非正數,正整數和0稱為非負整數(也叫做自然數),負整數和0統稱為非正整數。如果用字母表示數,則a>0表明a是正數;a<0表明a是負數;a0表明a是非負數;a0表明a是非正數。
知識點3 數軸
數軸是理解有理數概念與運算的重要工具,數與表示數的圖形(如數軸)相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩云:
數與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛。
數缺形時少直覺,形少數是難入微。
數形結合百般好,隔裂分家萬事非。
切莫忘,幾何代數統一體,永遠聯絡,切莫分離!
數與形的第一次聯姻——數軸,使數與直線上的點之間建立了對應關係,揭示了數與形的內在聯絡,並由此成為數形結合的基礎。
1) 數軸的定義
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸
數軸的定義包含三層含義:一,數軸是一條直線,可以向兩端無限延伸;二,數軸有三要素——原點、正方向、單位長度,三者缺一不可;三,原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定,都是根據實際需要「規定」的(通常取向右為正方向)。
2) 數軸的畫法
(1)畫一條直線(一般畫成水平的直線)。
(2)在直線上選取一點為原點,並用這點表示零(在原點下面標上「0」)。
(3)確定正方向(一般規定向右為正),用箭頭表示出來。
(4)選取適當的長度作為單位長度,從原點向右,每隔乙個單位長度取一點,依次表示為1,2,3……;從原點向左,每隔乙個單位長度取一點,依次表示為-1,-2,-3……
注 (1)原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況適當選取;
(2)確定單位長度時,根據實際情況,有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點,從原點向右,依次表示為2,4,6,……;從原點向左,依次表示為-2,-4,-6,……;
3)數軸上的點與有理數的關係
所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示,負有理數可以用原點左邊的點表示,零用原點表示。
4) 利用數軸比較有理數的大小
在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。正數都大於0;負數都小於0;正數大於一切負數。
知識點4 相反數
1) 相反數的定義
(1)相反數的幾何定義:在數軸上原點的兩旁,到原點距離相等的兩個點所表示的數,叫做互為相反數。如下圖,4與-4互為相反數,與-互為相反數。
(2)相反數的代數定義:只有符號不同的兩個數(除了符號不同以外完全相同),我們說其中乙個是另乙個的相反數。
2)相反數的性質:
(1)任何乙個數都有相反數,而且只有乙個。正數的相反數是負數,負數的相反數是正數,0的相反數是0。
0是唯一乙個相反數等於本身的數。反之,如果a=-a,那麼a一定是0.
3) 相反數的特徵:
若a與b互為相反數,則a+b=0(或a=-b)
若a+b=0(或a=-b),則a與b互為相反數。
4)求乙個數的相反數的方法:(見輔導書)
5)多重符號的化簡
(1)在乙個數的前面添上乙個「+」號,仍然與原數相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2)在乙個數的前面添上乙個「-」號,就成為原數的相反數。如-(-3)就是-3的相反數,因此,-(-3)=3。
知識點5 絕對值的概念
(1)絕對值的幾何定義:乙個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離,數a的絕對值記作「」
(2)絕對值的代數定義:乙個正數的絕對值是它本身;乙個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。即
知識點6 有理數大小的比較
正數都大於0,負數都小於0,正數大於一切負數,兩個負數,絕對值大的反而小。
利用數軸,在數軸右邊的數永遠大於左邊的數
1.3 有理數的加減法
1.3.1有理數的加法
知識點1 有理數的加法
把兩個有理數合成乙個有理數的運算叫做有理數的加法。
相加的兩個有理數有以下幾種情況:(1)兩數都是正數;(2)兩數都是負數;(3)兩數異號,即乙個是正數,乙個是負數;(4)乙個是正數,乙個是0;(5)乙個是負數,乙個是0;(6)兩個都是0。
知識點2 有理數加法法則
(1)同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加。
(2)絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
(3)乙個數同0相加,仍得這個數。
知識點3 有理數加法的運算定律
(1)加法交換律:。
(2)加法結合律:。
1.3.2有理數的減法
知識點1 有理數減法法則
減去乙個數,等於加上這個數的相反數,即
知識點2 有理數的加減混合運算
1) 有理數加減法統一成加法的意義
對於有理數的加減混合運算中的減法,可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法。這樣一來,就將原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以後的式子是幾個正數或負數的和的形式,有時,我們把這樣的式子叫做代數和。
2)有理數加減混合運算的方法
一、運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
二、運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。
3)省略加號的和式及讀法
1.4有理數的乘除法
1.4.1有理數的乘法
知識點1 有理數乘法法則
兩數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。任何數同0相乘,都得0。
知識點2 倒數的概念
乘積是1的兩個數互為倒數。
由於 ,所以當a是不為0的有理數時,a的倒數是。若a、b互為倒數,則ab=1。
知識點3有理數乘法法則的推廣
(1)幾個不等於0的數相乘,積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時,積為負;當負因數有偶數個時,積為正。
(2)幾個數相乘,只要有乙個因數為0,積就為0。
知識點4 有理數乘法的運算定律
(1)乘法交換律:。
(2)乘法結合律:。
(3)分配律:。
1.4.2有理數的除法
知識點1 有理數除法法則
一、除以乙個數等於乘以這個數的倒數。即。
二、兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。0除以任何乙個不等於0的數,都得0。
知識點2 有理數的乘除混合運算:除轉乘,確定符號。
知識點3有理數的四則混合運算
先乘除,後加減,如果有括號,就先算括號裡面的。同級運算中,要按照從左到右的順序。
1.5有理數的乘方
知識點1 有理數乘方的意義
求n個相同因數的積的運算,叫乘方。例如a·a·a·a·a…a,記作「」。乘方的結果叫做冪。在中,叫做底數,n叫做指數,讀作的n次方,。
知識點2 有理數乘方運算的性質
正數的任何次冪都是正數;負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。0的任何次冪都是0.
知識點3 有理數混合運算的運算順序
先算乘方,再算乘除,最後算加減,如果有括號,就先算括號裡面的。
知識點4 科學計數法
把乙個大於10的數記成「」的形式,其中a是整數數字中只有一位的數,這種記數法叫做科學記數法。如42 000 000=4.2×。
知識點5 研究近似數的意義
在生產實踐和實際生活中,不僅存在著大量的準確數,同時也存在著大量的近似數。近似數就是與實際接近的數。
出現近似數的原因有兩點:一是有時候不能得到完全準確的數,如太陽的半徑大約是696 000千公尺;二是有時也沒有必要弄得完全準確,如買10千克大公尺,有時可能多一點,有時也可能少一點。
知識點2 精確度
乙個近似數,四捨五入到哪一位,就說這個近似數精確到哪一位。
知識點3 有效數字
四捨五入後的近似數,從左邊第乙個不為0的數字起,到精確到的數字止,所有的數字,都叫做這個數的有效數字。
方法技巧1:在只含有乘、除法的算式中,可以由「負」號的個數確定結果的符號。「負」號有奇數個時,結果為負;「負」號有偶數個時,結果為正。
方法技巧2:分數、小數乘除混合運算,通常把小數化為分數,帶分數化為假分數。當把乘除都化成乘積的形式時,應先確定積和符號。
含有多重括號,去括號的一般方法是由內向外,即依次去掉小、中、大括號,也可以由外到內。在進行混合運算時,要注意兩點:一是運算順序,二是運算符號。
方法技巧3:靈活運用有理數的運算法則、運算律,適當地新增或去括號改變運算順序常可達到簡化運算的效果。湊整、分組、拆項、相消、分解相約、整體處理等是有理數運算常用的方法與技巧。
七年級數學第一章
七年級輔導第一章豐富的圖形世界 一 選擇題 1 如圖,把左邊的圖形摺起來,它會變成右邊的正方體 2 如圖,這四幅圖是乙個正方體不同的側面,六個面上分別寫著a b c d e f,則c a e的對面字母分別是 a f b d b d f b c b f d d b d f 3 小明從正面觀察下圖所示的...
七年級上第一章有理數全章系統複習
1.1 正數與負數 一 必記概念 1.像 3 2 0.5這樣的數 即在以前學過的數前面加 號負號的數 叫做 2.像3 2 0.5這樣的數 即以前學過的的數 叫做 有時在前面也加上如 3 2。3.乙個數前面的叫做它的符號。4.0既也 5.在實際生活中,常常用正數和負數表示具有意義的量。如果上公升10公...
七年級生物第一章模擬題
第一章綜合評價 一選擇題 1.生物圈中一切陸生生物的立足點是 a 水圈 b 生物圈 c 土壤 d岩石圈 2.下列有關生物與環境的關係的敘述正確的是 a生物與環境彼此孤立互不影響 b生物依賴環境,但環境不受生物的影響 c生物的生存受環境的控制 d生物與環境相互依存,相互影響 3.蜂群間蜜蜂間的相互關係...