海南省2023年中考數學科第24題質量分析報告
【題目】24. （本題滿分14分）如圖13，已知拋物線經過原點o和x軸上另一點a,它的對稱軸x=2 與x軸交於點c，直線y=-2x-1經過拋物線上一點b(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交於點d、e.
（1）求m的值及該拋物線對應的函式關係式；
（2）求證：① cb=ce ；② d是be的中點；
（3）若p(x，y)是該拋物線上的乙個動點，是否存在這樣的點p,使得pb=pe,若存在，試求出所有符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由.
一、試題分析
2023年數學科中考第24題是一道代數幾何綜合**題，它以平面直角座標系作為主要載體，考查函式、三角形全等和相似、勾股定理、等腰三角形等知識點，考查數形結合、待定係數法等重要數學思想方法，綜合考查學生的數學**能力。
這道題給予學生很大的思維空間去做答，解決問題的方法和角度多；其梯度設定得當，從易到難，不斷引導，逐層滲透，為學生靈活、綜合地運用基礎知識、基本技能，創造性地解決問題提供了空間。
二、學生答題過程分析
（一）學生在做答過程中好的方面：
1、解題思路廣，方法多樣。例如：
（1）第1小題用待定係數法求二次函式的關係式。學生在設關係式時採用了不同的方法，有一般式（或）、兩根式、頂點式三種形式，這涵蓋了二次函式最常用的三種關係式表達形式。這三種做法的同學都相當多，沒有特別偏向哪種做法。
另外，將點的座標代入關係式時，學生選擇的點也是多種情況，有點a，點b，點b關於直線的對稱點、點o可以選擇。說明學生對以上知識點的掌握比較熟練，解題角度多。
（2）第2小題第2問中證明d是be的中點。學生的方法更顯得多樣。
思路1：利用三角形全等。方法有：
①分別過b、e兩點作y軸的垂線，垂足分別為f、g，論證≌，得到bd=ed，從而得證；②過點b作x軸的垂線bf，過點d做df⊥bf，過點e做eg⊥y軸於點g，論證≌，得到bd=ed，從而得證。
思路2：利用三角形相似。方法有：
①分別過b、d兩點作直線x=2的垂線，垂足分別為f、g，論證∽，得到，從而得證；②求出d（0，），直線bc與y軸的交點g（0，1.5），得到，易得∽，故，從而得證。
思路3：利用等腰三角形的三線合一性質。方法有：
①鏈結cd，通過計算bd、cd、bc長度，通過勾股定理逆定理論證cd⊥be，從而得證；②直線be與直線cd的斜率的乘積，所以 cd⊥be，從而得證；③設be與x軸交於點g，通過論證∽來說明cd⊥be，從而得證，但這不是一種好的方法。
思路4：直接計算bd、de、be的長度。①利用勾股定理計算bd=、de=、be=，從而得證；②利用兩點距離公式計算bd=、de=、be=，從而得證；
思路5：利用三角形中位線。方法有：①設bc與y軸交於點g，則bg是的中位線，從而得證；②分別過b、d兩點作直線x=2的垂線，垂足分別為f、g，則dg是是的中位線，從而得證。
思路6：利用平面直角座標系中線段中點距離公式。方法是：
由線段be兩個端點b（，3）、e（2，）代入公式可求得中點座標為（0，），而直線be與y軸的交點d（0，），故d是be的中點。
思路7：利用平行線等分線段定理。方法有：
①過b點作直線x=2的垂線，與y軸和直線x=2分別交於f、g，易得bf=2，bg=4，由y軸//直線x=2，得到，從而得證；②分別過b、d兩點作直線x=2的垂線，垂足分別為f、g，易得ef=8，eg=4，由dg//bf得到，從而得證；③求出直線bc與y軸的交點g（0，1.5），計算得bg=2.5，由y軸//直線x=2，得到，從而得證。
（3）第3小題求p點座標。
思路1：求直線cd與拋物線的交點座標。方法有：
①求出直線cd關係式，設p（x，），把p點座標代入二次函式關係式，利用方程求解；②求出直線cd關係式，設p（x，），把p點座標代入直線cd關係式，利用方程求解；③求出直線cd關係式，利用方程組求解。
思路2：利用兩點間距離公式求解。設p（x，），由pb2=pe2得到，從而求解。
當然還有其它的解題思路和方法，這裡不一一介紹。
2、用到課本之外的知識解答問題。例如：
（1）利用兩點間距離公式求解。「a(x1，y1) 和b(x2，y2)兩點距離是」。在第2小題求bc、be、bd、de的長度以及第3小題求p點座標時，不少同學都用到了這個公式。
（見上分析）
（2）利用線段中點座標公式求解。「若a(x1，y1) 和b(x2，y2)，則線段ab的中點p」。在第2小題論證點d線段be中點時，學生用到了這個公式。（見上分析）
（3）利用平行線等分線段定理證明。在第2小題論證點d線段be中點時，學生用到了這個定理。（見上分析）
（4）利用斜率證明或求解。在第2小題論證cd⊥be或者求直線cd的解析式時，學生用到了「互相垂直的兩直線斜率」這個定理。（見上分析）
（5）利用二元二次方程組和一元高次方程求解。在第3小題求點p座標時，學生列出了二元二次方程組和一元高次方程求解。（見上分析）
這些知識和方法都是課本外的，可見學生的課外閱讀量是很廣的，學習能力也比較強。
（二）學生在解答過程中存在的問題
通過學生的答題情況，我們發現了學生存在的突出問題。列舉如下：
1、基本數學素養低。
（1）基本數學形式不規範。例如：①出現「」這種寫法；②點、線、角、三角形全等這些數學符號表示不正確。這是非常普遍的現象。
（2）基本數學語言表述錯漏百出。例如：① 「鏈結bf⊥x軸」，在圖中沒有點f的情況下這麼表述是錯誤的；② 「把代入b（，m）」，應該是把點的座標代入直線解析式，即「把b（，m）代入」； ③點e在原圖中已存在，有學生解答過程中仍寫「過點b作be⊥x軸於點e」，這樣在同一幅圖中出現相同的字母表示多個點。
（3）化簡意識差。例如第1小題求解出函式關係式有這些寫法「」、「」、「」。
（4）自我檢驗意識差。例如：第2小題中，有部分學生求出bc=3，ce=5，仍下結論bc=ce。
2、學生計算能力差。
（1）第1小題求m的值，計算出現錯誤的很多，也導致了後邊的解題出現錯誤。
（2）第1小題解方程得到的學生很多。
（2）第1小題列出方程組，解答的結果各種各樣，錯誤率很高。
（3）第3小題解一元二次方程，由於結果是無理數，錯誤率更高。
3、解題過程不規範。
（1）解答過程有頭無尾。例如：①第1小題求函式關係式，求出係數a、b、c後不寫關係式出來；②第2小題求出bc=5，ce=5後，不下結論bc=ce；③第3小題求出p點的橫、縱座標後不寫成座標形式p（m，n）。
（2）解答過程缺胳膊少腿。例如：①第1小題在沒有設出關係式的情況下直接得到方程組；②第2小題在沒有說明點f位置的情況下直接寫bf=3；③解答過程中出現的輔助線在圖形中沒有作出。
（3）沒有解答過程直接寫結論。例如：①第1小題求m的值，直接寫m=3，直接寫出函式關係式；②第2小題中，d座標（0，）直接寫出。
4、知識點有缺陷。
（1）對函式知識掌握不好。例如：二次函式的關係式設成（缺項），甚至設為一次函式的關係式或其他形式；
（2）對幾何知識掌握不好。例如：第2小題中，鏈結cd後直接就認為cd⊥be；在證明≌時，用（ssa）來證明，或者條件不夠就下結論。
（3）對方程（組）知識掌握不好。例如：方程組中未知數的個數與方程的個數不相等，從而導致不能解；不會解一元二次方程或方程組。
三、本題學生答題得分情況
（24題給分分布曲線圖。本題平均分：2.28；難度：0.16。）
綜上所述，學生的思維活躍，課內外閱讀量大，見識面廣，解題方法多樣，切入點多。但是，學生暴露的問題也不少：通過學生分值分布表，我們發現，學生兩極分化現象嚴重，落後面很大（零分率為59.
4%），有一部分學生學習態度差，連最簡單的小題也不能做答或者答錯；通過答題過程分析，我們發現學生基本功薄弱、動手能力低、解題速度慢、計算能力下降、缺乏嚴謹的數學態度、隨意性強，沒有自我檢驗的意識等一系列問題。
（中考評卷組提供，海南實驗中學房一登執筆）
2023年7月20日
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