第一章力
例題1 把乙個大小為10n的力沿相互垂直的兩個方向分解,兩個分力的大小可能為
(a) 1n,9n (b)6n,8n
(c)(99.99)1/2n,0.1n (d)11n,11n
解:兩個分力的平方和應等於102,等於100.選項(b)(c)正確.
例題2 乙個大小為1n的力可以分解為多大的兩個力?
(a) 0.2n,1.2n (b)1n,1n (c)100n,100n (d)1n,1000n
解:大小為0.2n和1.2n的兩個力方向相反時合力為1n,選項(a)正確;
大小均為1n的兩個力互成120°角時,合力為1n,選項(b)正確;
大小均為100n的兩個力互成適當小的角度時,合力可為1n,選項(c)正確;
大小為1n和1000n的兩個力的合力大小在999n與1001n之間,不可能為1n,選項(d)不對.
總之選項(a)(b)(c)正確.
例題3 作用於同一質點的三個力大小均為10n.
(1)如果每兩個力之間的夾角都是120°角,那麼合力多大?
(2)如果兩兩垂直,那麼合力多大?
解:(1)合力為零.
(2)根據題意,可以設f1向東,f2向南,f3向上.f1、f2的合力f12，沿東南方向,大小為10n.f3與f12相垂直,所以三個力的合力大小為
f＝(102+(10)2)1/2＝10n
例題4 (1)大小為5n、7n、8n的三個共點力,合力最小值為____;
(2)大小為5n、7n、12n的三個共點力,合力最小值為____;
(3)大小為5n、7n、13n的三個共點力,合力最小值為____;
(4)大小為5n、7n、40n的三個共點力,合力最小值為____.
答:(1)0;(2)0;(3)1n;(4)28n.
例題5 如圖1-2所示,六個力在同一平面內,相鄰的兩個力夾角都等於60°,f1＝11n,f2＝12n,f3＝13n,f4＝14n,f5＝15n,f6＝16n.六個力合力的大小為___n.
解:f1與f4的合力f14沿f4方向,大小為3n,f2與f5的合力f25沿f5方向,大小為3n,f3與f6的合力f36沿f6方向,大小為3n.所以六個力的合力等於圖1-3中三個力的合力.
f14與f36的合力f1436沿f25方向,大小為3n.f1436與f25的合力,沿f25方向,大小為6n.總之六個力的合力大小為6n,沿f5方向.
例題6 質點受到五個力:f1、f2、f3、f4、f5,圖1-4中作出了五個力的圖示,兩條實線和四條虛線正好構成乙個正六邊形.已知f3＝10牛,求五個力的合力多大.
解:容易看出,f1和f2的合力等於f3(大小和方向等於f3的大小和方向),f2和f5的合力等於f3,所以五個力的合力為
f＝3f3＝30牛.
例題7 圖1-5(a)中三個力為共點力,平移後構成三角形,圖1-5(b)也是這樣.圖1-5(a)中三個力的合力大小為____n;圖1-5(b)中三個力的合力大小為____n.
解:根據三角形定則，圖(a)中，f2與f3的合力等於f1,所以三個力的合力等於2f1＝40n(向左).
根據三角形定則,圖(b)中,f2與f3的合力向右,大小等於f1,所以三個力的合力等於零.從多邊形定則可以直接得出這個結論.
例題8 如圖1-6所示,十三個力在同一平面內,大小均為1n,相鄰的兩個力夾角都是15°,求十三個力的合力.
解:f1與f13的合力為零;
f2與f12互成150°角,合力沿f7方向,利用餘弦定理,可算出合力大小為
(12+12+2×1×1cos150°)1/2n
＝(12+12-2×1×1cos30°)1/2n＝(2-)1/2n;
f3與f11互成120°角,合力沿f7方向,合力大小為1n;
f4與f10互成90°角,合力沿f7方向,合力大小為n;
f5與f9互成60°角,合力沿f7方向,合力大小為n;
f6與f8互成30°角,合力沿f7方向,利用餘弦定理,可算出合力大小為
(12+12+2×1×1cos30°)1/2n＝(2+)1/2n;
所以十三個力的合力沿f7方向,大小為
f＝(2-)1/2n+1n+n+n+(2+)1/2n+1n
＝(2+(2+)1/2+(2-)1/2++)n.
例題9 如圖1-7,有同一平面內5個共點力,相鄰的兩個力之間的夾角都是72度.f1大小為90n,其餘各力大小均為100n.求5個力的合力.
解:f1可以分解為沿f1方向的大小為100n的分力f1a,和沿f1反方向的大小為10n的分力f1b.
這樣原題轉化為求解f1a、f1b和f2、f3、f4、f5等6個力的合力.易知,其中f1a和f2、f3、f4、f5等5個力的合力為零.所以f1、f2、f3、f4、f5的合力等於f1b:
大小為10n,沿f1的反方向.
例題10 有n個大小為f的共點力,沿著頂角為120°的圓錐體的母線方向,如圖1-8所示.相鄰兩個力的夾角都是相等的.這n個力的合力大小為_____.
解:將每個力沿圓錐體的對稱線方向和平行於底面的方向分解,得到n個沿著對稱線方向的分力,和n個平行於底面方向的分力.
每個沿著對稱線方向的分力大小都等於f/2,所以n個沿著對稱線方向的分力的合力,大小為nf/2.另一方面,n個平行於底面方向的分力的合力為零.
所以本題所求n個力的合力大小等於nf/2.
例題11 下面每組共點力,大小是確定的.試分別判斷各組力之合力是否可能為零,如不可能為零,最小值多大.
(a)1n,2n,3n,4n,15n
(b)1n,2n,3n,4n,10n
(c)1n,2n,3n,4n,5n
(d)1n,2n,10n,100n,100n
(e)1n,2n,……98n,99n,100n
(f)1n,2n,……98n,99n,10000n
解:(a)1+2+3+4＝10,而10＜15,這五個力不可能組成五邊形,談不上組成如圖1-1(c)所示的五邊形,因此合力不可能為零,最小值為:
fmin＝15n-10n＝5n.
(b)1+2+3+4＝10,所以五個力的合力可能為零.
(c)1+2+3+4＞5,這五個力可以組成圖8所示的五邊形,合力可能為零.
(d)1+2+10+100＞100,所以五個力的合力可能為零.
(e)1+2+3+……+98+99＞100,所以一百個力的合力可能為零.
(f)1+2+3+……+98+99＝(1+99)×99/2＝4950＜10000
所以,一百個力的合力不可能為零,最小值為
fmin=10000n-4950n＝5050n.
第二章直線運動
例題1 有一小孩掉進河裡後抱住了一根圓木隨水向下飄流,有三條船a、b、c在正對河岸p點的地方同時與圓木相遇,但三條船上的船員都沒有注意到圓木上的小孩.a、b兩船逆水上行,c船順水下行.相對水的速度,b船是a船的1.
2倍,c船是b船的1.2倍. 當三條船離開p點行駛30分鐘的時候, 船員們從收音機裡聽到圓木上有小孩需要救助的訊息,三條船都立即調轉船頭,駛向圓木.
在離p點6千公尺的地方,小孩被船員救起. 試回答三條船到達小孩和圓木的先後次序如何?_____.
解：以流水為參照物.小孩和原木是靜止的.
船a上行時速度和下行時速度大小相等,船b也是這樣,船c也是這樣.船a、b、c 同時從小孩所處的位置向上游和下游行駛,速度不同,在30 分鐘內行駛了不同的路程s1、s2、s3;在接下去的30分鐘內, 三條船分別沿反方向行駛路程s1、s2、s3,回到小孩所處的位置.
答:三條船同時到達小孩和原木.
例題2 一列一字形隊伍長120m,勻速前進. 通訊員以恆定的速率由隊尾跑到隊首,又跑回隊尾,在此期間,隊伍前進了288m. 求通訊員跑動的速率v是隊伍前進的速率u的多少倍.
分析:順利解答本題的關鍵是, 找出通訊員的運動跟隊首或隊尾的運動的聯絡.
解:設通訊員從隊尾跑到隊首所用的時間為t1, 從隊首跑到隊尾所用的時間為t2,那麼
u(t1+t2)＝288 (1)
在t1時間內,通訊員跑動的路程比隊首移動的路程多120m:
vt1-ut1＝120 (2)
在t2時間內,通訊員跑動的路程加上隊尾移動的路程等於120m:
vt2+ut2＝120 (3)
從(2)式中得出t1的表示式,從(3)式中得出t2的表示式,代入(1)式, 可算出:
v＝1.5u
例題3 一物體作勻變速直線運動,某時刻速度的大小為4m/s, 1s後速度的大小變為10m/s.在這1s內
(a)位移的大小可能小於4m
(b)位移的大小可能大於10m
(c)加速度的大小可能小於4m/s2
(d)加速度的大小可能小於10m/s2 (2023年高考全國卷試題)
解:取初速度方向為正方向,則
v0＝4m/s,vt＝10m/s或-10m/s.
由 s＝vt＝(v0+vt)t/2,
得 s＝7m或-3m
所以位移的大小為7m或3m.選項(a)正確,(b)錯誤.
由 a＝(vt-v0)/t
得 a＝6m/s2或-14m/s2
所以加速度的大小為6m/s2或14m/s2,選項(c)錯誤,(d)正確.
總之,本題選(a)(d).
例題4 在三樓的陽台上 ,一人伸出陽台的手上拿著乙隻小球, 小球下面由細繩掛著另乙個小球.放手,讓兩小球自由下落,兩小球相繼落地的時間差為t.又站在四層樓的陽台上,同樣放手讓小球自由下落,兩小球相繼落地的時間差為t',則
(a)t＜t' (b)t＝t' (c)t＞t'
解:從三樓陽台外自由下落,下面的小球著地時,兩球具有的速度為v,從四樓陽台外自由下落,下面的小球著地時, 兩球具有的速度為v',顯然v＜v'.下面的小球著地後,上面的小球以較小的初速度v和較大的初速度v',繼續作加速度為g的勻加速運動, 發生一定的位移(等於繩長),所需的時間顯然是不同的:
t＞t'.選項(c)正確.
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