一位著名的科學家曾經說過：人類活動的本質就是對資訊進行加工和處理。
從資訊理論的觀點看，所謂資訊就是客觀事物的時間、空間特性的總體反映，而訊號則是觀察客觀事物表達其相應資訊的技術手段，也就是資訊的載體。資訊是通過訊號來表達，對資訊的加工和處理，也就表現為對訊號的加工和處理。
目前訊號處理廣泛應用於許多領域中，比如結構的健康檢測和損傷識別；**訊號中的分析和處理；去處訊號噪音干擾；圖象的壓縮；圖象的邊緣檢測；語音頻號的分析、變換和綜合等。
自從2023年傅利葉發表「熱傳導解析理論」以來，訊號分析方法不斷改進創新，影響較大的數值變換方法主要有fourier變換、garbor變換、小波變換，以及近年得到廣泛應用的hilbert-huang變換等。本文將簡要介紹這四種數值分析方法，總結其各自的特點。
fourier變換的理論是人類數學發展史上的乙個里程碑，從2023年開始，直到2023年(2023年fourier提出任意乙個週期函式都可以表示為fourier級數的結論是有誤的，直到2023年才證明了可積的週期函式才能表示為fourier級數)，整整用了乙個半世紀多，才發展成熟。它在各個領域產生了深刻的影響，一度被認為是訊號處理領域中最完美、應用最廣泛、效果最好的一種手段。fourier理論不僅僅在數學上有很大的理論價值，更重要的是fourier變換或fourier積分得到的頻譜資訊具有物理意義。
fourier變換表述為：任意乙個週期為t(=)的函式，都可以用三角級數表示：
1)2)
3)傅利葉變換是一種純頻域的分析方法，他在頻域內的定位性是完全準確的（即頻域解析度最高）。然而傅利葉理論不可避免地具有一定的侷限性，主要表現為以下兩點：
（1）fourier變換的三種形式中的fourier係數都是常數，不隨時間t變化，因而只能處理頻譜成分不變的平穩訊號，相反的，在處理非平穩訊號時會帶來很大誤差，甚至與實際情況大相徑庭。（舉例：無阻尼與有阻尼的單自由度的自由振動、打鞦韆、座鍾、討論會與大合唱等）。
在實際訊號中，若高頻與低頻差別很大，在相同的時間間隔內，高頻訊號衰減了而低頻訊號尚未衰減，所以，在不同時刻，訊號的頻譜成分是不同的。硬要用fourier變換找出所有時刻的頻譜成分，硬要把幅值的變化用頻率的變化來補償，不僅高頻的fourier係數有誤差，低頻的fourier係數也有很大誤差，包括求出的頻率當然也有誤差。
（2）求fourier係數是全時間域上的加權平均，這從對於離散的時程，即n個離散的測點值可以清楚看到。區域性突變資訊被平均掉了，區域性突變資訊的作用很難反映出來。差別很大的訊號，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的頻率，所以，處理、捕捉突變訊號如故障訊號，靈敏度很差。
處理、捕捉突變訊號應使用能反映區域性資訊的變換。
為了克服以上兩點侷限性，這就要求：
（1）將變換係數視為隨時間變化的，級數求和由一重變為兩重。
（2）使用能反映區域性資訊的變換，則函式組不能使用全域上的函式，只能使用有所謂緊支撐的函式，即加窗fourier變換的窗函式或「小波函式」。
注意到了fourier變換公式的不足，在其2023年發表的**中，為了提取訊號的fourier變換的區域性資訊，引入了乙個時間區域性化的gaussian函式作為「窗函式」g(t-b)，其中引數b用於平移動窗以便覆蓋整個時間域。該時間函式在有限區間外恆等於罕(緊支集)．或很快趨於零。用g(t-π)與待分析函式f(t)相乘，其作用相當於在t=π處開了個「視窗」，如圖1所示，然後再對乘積進行fourier變換。
圖1 視窗函式與視窗位置
4）式(4)中，gf(ω,τ)表示的是f(t)以τ為中心，左右為△τ區域性
時域內的頻率(頻譜)特徵，式(4)的反演公式為
5）因為乙個gaussian函式的fourier變換還是gaussian函式，所以fourier逆變換即頻率也是區域性的。
由於視窗fourier變換的視窗位置是隨τ而變化的，這一特性滿足了研究訊號不同時段區域性性質的要求。顯示了視窗fourier變換在這一方面較fourier變換的優越之處。在視窗fourier變換的基礎上，人們又構造了多種形式的視窗函式，這一類視窗fourier變換統稱為短時fourier變換，簡記為stft。
注意到視窗fourier變換的形狀與大小都是保持不變的(見圖)，而常識告訴我們，在研究高頻佰號的區域性性質時，視窗應開的小一些，在研究低頻訊號的區域性性質時，視窗應開的大一些。換言之，視窗大小應隨頻率而變，頻率越高，則窗門越小，頻率越低．視窗越大。但視窗fourier變換不具備這一特點，加之其他一些理論不完善以及計算方面的問題，使得視窗fourier變換未得到廣泛應用與進一步發展。
也就是說加窗fourier變換的「時間-頻率窗」的寬度對於觀察所有的頻率是不變的。在較長的時間窗內，對於高頻訊號，可能經過了很多週期，因而求出的fourier變換係數是很多週期的平均值，區域性化效能不能得到體現。若減小時間窗（減小），高頻訊號區域性化效能得到體現，但對於很低的頻率訊號來講，檢測不到。
總上所述，加窗fourier變換對於高頻與低頻差別很大的訊號仍不是很有效的。
從上述的總結中，我們可以看出：
（1） fourier級數的正弦與余弦係數為常數，不能反映振幅變化的情況；
（2） 求fourier係數需要所考慮的時間域上所有資訊，不能反映區域性資訊的特徵；
（3） 加窗fourier變換時間窗是固定不變的，高頻與低頻的時間區域性化不能同時滿足。
基於上述原因，進一步改進garbor變換的不足，形成了小波分析理論。
小波分析的出現和發展，源於許多不同科學領域訊號處理的需要。上個世紀80年代初，morld和arens等人首次提出了「小波」的概念。作為一種數學工具，小波分析已廣泛地應用於訊號分析、影象處理、數值分析等方面，而這些應用中產生的問題進一步激發了人們研究小波分析的興趣。
由此，帶來了小波分析的迅速發展。
小波變換方法是一種視窗大小(即視窗面積)固定，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻區域性化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率解析度和較低的時間解析度，在高頻部分具有較高的時間解析度和較低的頻率解析度。這種特性，使小波變換具有對訊號的自適應性。
小波變換不同於傅利葉變換的地方是：它在時域和領頻域同時具有良好的區域性化性質。
小波理論是近些年形成和發展迅速的一種數學工具。在工程應用領域，特別是在訊號處理、影象處理、模式識別、語音識別、量子物理、**勘測、流體力學、電磁場、ct成像、機械故障診斷與監控、分析、數值計算等領域，它被認為是近年來在工具及方法上的重大突破。基於小波變換的小波分析技術是泛函分析、fourier變換、樣條分析、調和分析、數值分析等半個世紀以來發展最完美的結晶，是正在發展的新的數學分支。
原則上講，傳統上使用fourier分析的地方，都可以用小波分析取代。
將時程函式表示為下面的小波級數：
= （6）
7）其中，是小波函式，是小波係數，且=（8）
由公式（6）到（8）可以看到，小波級數是兩重求和，小波係數的指標不僅有頻率的指標，而且還有時間的指標。也就是說，小波係數不僅像fourier係數那樣，是隨頻率不同而變化的，而且對於同乙個頻率指標，在不同時刻，小波係數也是不同的。這樣就克服了上面所述的第乙個不足。
由於小波函式具有緊支撐的性質，即某一區間外為零。這樣在求各頻率水平不同時刻的小波係數時，只用到該時刻附近的區域性資訊，從而克服了上面所述的第二個不足。
通過與加窗fourier變換的「時間-頻率窗」的相似分析，可得到小波變換的「時間-頻率窗」的笛卡兒積是
（9）其中，時間窗的寬度為，隨著頻率的增大（即的增大）而變窄，隨著頻率的減小（即的減小）而變寬，之所以有這樣的結果，關鍵在於公式（7）中，時間變數前面乘了個「膨脹係數」。
小波變換的「時間-頻率窗」的寬度，檢測高頻訊號時變窄，檢測低頻訊號時變寬，這正是時間-頻率分析所希望的。
根據小波變換的「時間-頻率窗」的寬度可變的特點，為了克服上面所述的第三個不足，只要不同時檢測高頻與低頻資訊，問題就迎刃而解了。如，選擇從高頻到低頻的檢測次序，首先選擇最窄的時間窗，檢測到最高頻率資訊，並將其分離。然後，適當放寬時間窗，再檢測剩餘資訊中的次高頻資訊。
再分離，再放寬時間窗，再檢測次次高頻資訊，依次類推。
為了檢測到不同頻率水平資訊，即求出不同頻率水平下不同時刻的小波係數，首先要選好小波函式。
選擇小波函式的「四項原則」。
在求小波係數公式（8）中，如果是空間的正交基，則的為的復共軛。小波分析的最重要的應用是濾波，為了保證濾波不失真，小波函式必須具有線性相位，至少具有廣義線性相位。小波分析的另一重要應用是捕捉、分析突變訊號，這就要使用函式的導數，小波函式至少是連續。
由前面分析可知，小波函式必須具有緊支撐的性質。所以，正交、線性相位、連續、緊支撐是選擇小波函式的「四項原則」。
遺憾的是，數學家們已經證明，具有正交、線性相位、緊支撐的小波函式只有 harr函式，而harr函式是間斷函式，對於工程應用來說，是不理想的。
目前，一種傾向是堅持正交性。另一種傾向是放棄正交性，另闢途徑，進行艱辛的長征，前仆後繼，花費了將近半個世紀的探索，才使小波分析理論成熟起來，得以在工程中應用。
為了進行小波分解與重構，「四合一」的小波函式不存在，數學家們「一分為四」，選擇了四個函式，巧妙地解決了這些問題。這四個函式是：尺度函式，小波函式，對偶尺度函式，對偶小波函式。
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