1.機械能
動能和勢能(包括重力勢能和彈性勢能)，統稱為機械能，即e=ek+ep.
2.機械能守恆定律內容及其數學表示式
(1)機械能守恆定律：在只有重力(或彈簧的彈力)做功的情形下，物體的動能和重力勢能(或彈性勢能)發生相互轉化，但機械能的總量保持不變.
(2)機械能守恆定律的表達方式，在各種具體問題中，可根據解題的需要，以簡便為原則列出不同形式的表示式.一般有下列幾種常見形式：
①物體在初狀態的機械能e1等於其末狀態的機械能e2，即e2=e1或ek2+ep2=ek1+ep1
②減少(或增加)的勢能△ep等於增加(或減少)的總動能△ek,即△ep=△ek.
③系統內一物體機械能的增加(或減少)等於另一物體機械能的減少(或增加)，即△e1=-△e2
(3)機械能守恆定律的具體內容包含以下幾種情形：
在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；
在只有彈簧彈力做功的情形下，物體的動能和彈簧的彈性勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；
在只有重力做功和彈簧彈力做功的系統內，則系統的動能，重力勢能和彈性勢能之間發生相互轉化，但三種形式能量之和即機械能總量保持不變.
3.機械能守恆的條件
機械能守恆的條件是只有系統內的重力或彈性力做功.但並不意味著物體不受其它外力，只是所受的其它外力不做功.
對機械能守恆的條件可理解為：沒有系統外的力對系統做功，保證了所研究的系統與外界沒有發生機械能的傳遞與交換；系統內只有重力或彈性力做功，只使系統內動能、重力勢能或彈性勢能發生相互轉化，機械能沒有轉變成其它形式的能.可見，這樣的系統機械能是守恆的.
機械能守恆條件也是我們判斷所研究的某個系統機械能是否守恆的依據和判斷方法.我們還可以由此進一步推論出：若系統內重力或彈性力之外的其它力做功，則系統的機械能將發生改為.
若其它力做負功則會使系統的機械能減少.而且，系統機械能的變化就用其它力的功來量度.
1．如下圖所示，輕彈簧豎直立在水平桌面上並與桌面連線，在距彈簧上端高為h處有一小球自由下落，正好落在彈簧上，把彈簧壓縮後又被彈起，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是( )
a.小球落到彈簧上後立即做減速運動，動能不斷減小，但動能與彈性勢能之和保持不變
b.小球在碰到彈簧後，把彈簧壓至最短的過程中，系統的重力勢能與動能之和一直在減小
c.小球在碰到彈簧後，把彈簧壓至最短的過程中，系統的彈性勢能與重力勢能之和一直在增大
d.小球被彈簧彈起後，運動的最高點仍是出發點
2．如下圖所示，設ma＞mb，不計滑輪的摩擦及質量，在a物體下落的過程中，下列判斷正確的是( )
a.物體a和b各自的機械能守恆
和b組成的系統機械能守恆
和b組成的系統機械能不守恆
的機械能減少，b的機械能增加
3．一物體從高處同一點沿不同傾角的光滑斜面滑到同一水平面，則( )
a.在下滑過程中，重力對物體做的功相同
b.在下滑過程中，重力對物體做功的平均功率相同
c.在物體滑到水平面的瞬間，重力對物體做功的瞬時功率相同
d.在物體滑到水平面的瞬間，物體的動能相同
【難題巧解點撥】
明確機械能守恆定律成立條件，並會根據此條件去判斷具體過程中機械能是否守恆，是應用機械能守恆定律分析解決問題的前提.
應用機械能守恆定律的基本思路是
(1)根據題意，選取合適的研究物件，對研究物件進行受力分析，弄清各力做功情況，考察研究物件在運動過程中是否滿足機械能守恆的條件.
(2)明確研究物件的運動過程，恰當地選取參考平面，確定研究過程中的初態和末態的機械能或動能及勢能的表示式.
(3)正確選擇機械能守恆定律的表示式列出合適的方程.可分過程列式，也可對全程列式.
經典模型1.如圖5-5-1所示，光滑的傾斜軌道與半徑為r的圓形軌道相連線，質量為m的小球在傾斜軌道上由靜止釋放，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點，小球釋放點離圓形軌道最低點多高？通過軌道點最低點時球對軌道壓力多大？
經典模型2.如圖5-5-2長l=80cm的細繩上端固定，下端系乙個質量m＝100g的小球.將小球拉起至細繩與豎立方向成60°角的位置，然後無初速釋放.
不計各處阻力，求小球通過最低點時，細繩對小球拉力多大？取g=10m/s2.
常見題型：
例1 如下圖所示，粗細均勻的全長為l的光滑鐵鍊對稱地掛在輕小而光滑的定滑輪上.輕輕擾動一下鐵鍊的一端，使它從靜止開始運動，則鐵鍊剛脫離滑輪的瞬間的速度多大?
例2 如下圖所示，離地高為h的物體a通過跨在定滑輪上的輕繩與放在光滑水平桌面上，質量和a相同的物體b連線，由靜止開始下落和從同一高度單獨自由下落這兩種情況下，a離地面的高度h分別為多少時，它的動能與勢能相等?(設b沒有滑離桌面)
例3如下圖所示，半徑為r，質量不計的圓盤盤面與地面相垂直.圓心處有乙個垂直盤面的光滑水平固定軸o，在盤的最右邊緣固定乙個質量為m的小球a，在o點的正下方離o點r/2處固定乙個質量也為m的小球b.放開盤讓其自由轉動，問：
(1)當a球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少?
(2)a球轉到最低點時的線速度是多少?
(3)在轉動過程中半徑oa向左偏離豎直方向的最大角度是多少?
例4如下圖所示，質量均為m的三個小球a、b、c用兩根長均為l的細線相連，放在高為h的光滑水平桌面上(h＜l)，其中a球剛跨過桌邊.從靜止開始釋放後，a、b球相繼下落後著地後均不反跳，則c球剛離開桌邊時的速度大小是多少?
鞏固練習：如圖是乙個半徑為r的光滑固定圓柱體的橫截面，一根輕繩兩端各系乙個質量均為m的小球a、b而處於靜止狀態，兩球與圓心在同乙個水平線上。在受到輕微的擾動後，b球下落，a球上公升，求a球到達圓柱體的最高點時對柱面的壓力。
例5如圖所示，粗細均勻，兩端開口的u型管內裝有同種液體。開始時兩邊液面高度差為h，管中液體總長度為4h，開啟閥門讓液體自由流動，不計任何摩擦。求當兩側液面高度相等時，左側液面下降的速度。
同步練習：
1．如圖8-61所示，一細繩的上端固定在天花板上靠近牆壁的o點，下端拴一小球，l點是小球下垂時的平衡位置，q點代表一固定在牆上的細長釘子，位於ol直線上，n點在q點正上方，且qn＝ql，m點與q點等高．現將小球從豎直位置(保持繩子繃直)拉開到與n點等高的p點，釋放後任其向l擺動，運動過程中空氣阻力忽略不計．小球到達l後，因細繩被長釘擋住，將開始沿以q為中心的圓弧繼續運動．在這以後
a．小球向右擺到m點，然後就擺回來 b．小球向右擺到m和n之間圓弧上某點處，然後豎直落下
c．小球沿圓弧擺到n點，然後豎直落下 d．關於小球的運動情況，以上說法都不正確
2．如圖8—62所示，a和b兩個小球固定在一根輕杆的兩端，此杆可繞穿過其中心的水平軸無摩擦地轉動．現使輕杆從水平狀態無初速地釋放，發現杆繞o軸沿順時針方向轉動，則杆從釋放起轉過90°的過程中
a．b球的重力勢能減少，動能增加b．a球的重力勢能增加，動能減少
c．a球和b球的機械能分別守恆d．a球和b球組成的系統機械能守恆
3．兩個質量相同的小球a、b，分別用細線懸掛在等高的 、點，a球的懸線比b球的長，如圖8—52所示，把兩球均拉到與懸線水平後由靜止釋放，以懸點所在平面為參考平面，到兩球經最低點時的
a. a球的速度等於b球的速度
b．a球的動能等於b球的動能
c．a球的機械能等於b球的機械能
d．a球對繩的拉力等於b球對繩的拉力
4．如圖8—64所示，質量為lkg的小球用0．8m長的細線懸於固定點o，現將小球沿圓周拉至右上方距最低點所在平面1．2m高處鬆手，試求小球運動到最低點時對細線的拉力．
5．一內壁光滑的環形細圓管，位於豎直平面內，環的半徑為r(比細圓管的半徑大得多)，在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球(可視為質點)，a球的質量為，b球的質量為.它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都是，設a球運動到最低點時，b球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用於圓管的合力為零，那麼、、r與應滿足的關係式是________.
第25講機械能內能 1
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機械能練習
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