求遞推數列的通項公式的九種方法
利用遞推數列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值.自從二十世紀八十年代以來，這一直是全國高考和高中數學聯賽的熱點之一.
一、作差求和法m
例1 在數列{}中，,，求通項公式.
解：原遞推式可化為：則
，……，逐項相加得：.故.
二、作商求和法
例2 設數列{}是首項為1的正項數列，且（n=1,2,3…），則它的通項公式是=▁▁▁（2023年高考15題）
解：原遞推式可化為：
=0 ∵ ＞0，
則 ……， 逐項相乘得：，即=.
三、換元法
例3 已知數列{}，其中，且當n≥3時，，求通項公式（2023年高考文科第八題改編）.
解：設，原遞推式可化為：
是乙個等比數列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.
例4已知數列{}，其中，且當n≥3時，，求通項公式。解由得：，令，則上式為，因此是乙個等差數列，，公差為1.故.。由於又
所以，即
四、積差相消法
例5（2023年全國數學聯賽題一試第五題）設正數列，，…，，…滿足= 且，求的通項公式.
解將遞推式兩邊同除以整理得：
設=，則=1，，故有
由得=，即=.
逐項相乘得：=，考慮到，
故五、取倒數法
例6 已知數列{}中，其中，且當n≥2時，，求通項公式。
解將兩邊取倒數得：，這說明是乙個等差數列，首項是，公差為2，所以，即.
六、取對數法
例7 若數列{}中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=▁▁▁（2023年上海高考題）.
解由題意知＞0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.
七、平方（開方）法
例8 若數列{}中，=2且（n），求它的通項公式是.
解將兩邊平方整理得。數列{}是以=4為首項，3為公差的等差數列。。因為＞0，所以。
八、待定係數法
待定係數法解題的關鍵是從策略上規範乙個遞推式可變成為何種等比數列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：
1、（a、b為常數）型，可化為=a（）的形式.
例9 若數列{}中，=1，是數列{}的前項之和，且（n），求數列{}的通項公式是.
解遞推式可變形為 （1）
設（1）式可化為2）
比較（1）式與（2）式的係數可得，則有。故數列{}是以為首項，3為公比的等比數列。=。所以。
當n，。
數列{}的通項公式是 。
2、（a、b、c為常數，下同）型，可化為=）的形式.
例10 在數列{}中，求通項公式。
解：原遞推式可化為：
比較係數得=-4，①式即是：.
則數列是乙個等比數列，其首項，公比是2. ∴即.
3、型，可化為的形式。
例11 在數列{}中，，當， ① 求通項公式.
解：①式可化為：
比較係數得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：
則是乙個等比數列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.
∴.利用上題結果有：
.4、型，可化為的形式。
例12 在數列{}中，，=6 ①
求通項公式.
解 ①式可化為：
比較係數可得：
=-6，，② 式為
是乙個等比數列，首項，公比為.∴即
故.九、猜想法
運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出……，然後猜想出滿足遞推式的乙個通項公式，最後用數學歸納法證明猜想是正確的。
例13 在各項均為正數的數列中，為數列的前n項和，=+ ，求其通項公式。
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數列遞推通項公式總結
孫雷1 一階線性遞推 2 二階線性遞推 例 中，求通項 解 故 評析 本題的關鍵在於把轉化為 3 形式遞推 例 已知數列各項都是正數，且滿足 求數列的通項公式 解 由得從而故 評析 本題的關鍵在於將轉化為以及迭代的技巧。4 形式遞推 例 若則稱為的不動點，函式 求的不動點 數列滿足，求數列的通項公式...
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遞推數列通項求法大全 翼城中學周建軍 根據遞推式求通項公式是數列中乙個很重要的內容，因為數列中的很多問題都需要通過數列的通項公式來解決。本文通過遞推關係的一系列變換，構造乙個新的數列來求解，以及結合典型例子介紹遞推數列求通項公式的方法和技巧。一 構造法 常數分離法 1 型如 例1 已知數列滿足求 2...