方程是重要的數學工具，它可以幹什麼用呢？結論是：
凡是有關「求值」的問題，不管是怎樣的背景下和情境中，絕大多數情況都可以借助構造方程來解決。
一、方程用於實際問題中的求值
這方面的題目，同學們做的已經很多，這裡只舉一例。
例1 秋末，由於冷空氣入侵，某地區地面氣溫急劇下降到0℃以下的天氣稱為「霜凍」。由霜凍所導致的植物生長受到影響或破壞的現象稱為霜凍災害。
秋末某天，氣象台發布了該地區如下的降溫預報：午夜0時至次日5時氣溫將勻速地由3℃降到—3℃，然後從次日5時至次日8時，氣溫將又勻速地由—3℃公升到5℃，一種農作物在0℃以下持續超過3小時就會造成霜凍災害，根據氣象台的預報資訊，你認為是否有必要對該農作物採取防凍措施？並說明理由。
【觀察與思考】
第一， 這實際是要求出兩個數值：一是0時至次日5時氣溫下降過程中在哪個時刻達到0℃；二是在次日5時至次日8時氣溫上公升過程中，在哪個時刻達到0℃，顯然是求值總問題。應分別構造方程來解決。
第二， 可以用「勻速」所包含的「相等關係」來匯出方程，即
（事實上，只要把本問題的「溫度差」看作「路程」，它就相當於行程問題了。）
簡解：設在0時至次日5時之間的時，氣溫降到0℃，則依題意有：
（時）設在次日5時至次日8時之間的時氣溫公升到0℃，依題意有：
，解得（時）
。氣溫在0℃以下的時間為3.625小時（大於3小時）因此，會對該農作物造成霜凍災害，所以應對它採取防凍措施。
二、方程用於數學問題中的價值
數學問題中有形形色色或顯或隱的求值問題，大都可借助方程來解決。
1、借助方程，解決某些「數與式」的問題
例1 如果乙個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那麼，稱這個正整數為「神秘數」。如：，因此4，12，20這三個數都是神秘數，
（1）28和2008這兩個數是神秘數嗎？為什麼？
（2）兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什麼？
【觀察與思考】根據題中規定知道，若（※），(其中是整數，為正整數)，則就是「神秘數」。正整數是不是「神秘數」，就看使（※）式成立的整數是不是存在，存在時就是「神秘數」；不存在，就不是「神秘數」。這就是說，研究是不是「神秘數」的問題，就變成了研究（※）這個關於的方程有無整數解的問題。
解：（1）方程有非負整數解3。即
28是神秘數。
方程，沒有整數解，2008不是神秘數。
（2），
令解得不是整數。
兩個連續奇數的平方差（取正數）不是神秘數。
例2 按下面的程式計算，若開始輸入的值為正數，最後輸出的結果為656，則滿足條件的的不同值最多有（ ）
a、2個 b、3個 c、 4個d、5個
【觀察與思考】本題相當於按如下規律構造的方程：，
有正整數解的共有多少個。可驗證只有上述4個方程有正數解。
解：選c。
對於許多有關特定要求的數，式問題，常需要借助方程來解決。
2、借助方程，解決某些幾何圖形的求值問題
例3 圖1是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長為，則六邊形的周長是
【觀察與思考】拼成六邊形的9個等邊三角形按大小共分為5類，從大到小邊長逐減小，因此，可通過構造最大的等邊三角形的邊長的方程來求得它的值。
從圖2中可以看到最大三角形的邊長是第四大三角形邊長的2倍，易如：設最大的等邊三角形的邊長為，則有。
圖中六邊形的六條邊依次為：
解： 例4 如圖，這是由五個邊長為1的正方形組成的圖形，過頂點a的一條直線和cd，ed分別相交於點m，n。假若直線mn繞過a旋轉的過程中存在某一位置，使得mn將圖形分成的兩部分面積恰好相等，求這時線段en的長。
【觀察與思考】可借助來構造關於en的方程求其長。
解：。∽
得關於en的方程
解得（不合題意，捨去）。
許多圖形的求值問題，可借助方程來解決，事實上，包括解直角三角形和用相似三角形的性質求邊長，也是特定形式的方程，是方程思想的一種具體化表現。
3、借助方程，解決函式相關的問題
例5 如圖，在平面直角座標系中，直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交於點e和f。從點a（1，0）和
b（3，0）作軸的垂線，分別與直線交於點c和點d。已知，
求直線的解析式。
【觀察與思考】若設直線的解析式為。現在要求出
的值，為此去構造關於的方程組。而所給條件
「」就是這兩個方程組所依據
的等量關係。
解：設直線的解析式為，易知：
依題意有方程組：
解得直線的解析式為：
例6 早晨，小麗與媽媽同時從家出發，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學與上班，圖中所示是她們離家的路程（公尺）與時間（分）的函式圖象。媽媽騎自行車走了10分鐘接到小麗的**，即以原速度騎車前往小麗的學校，並與小麗同時到達學校。已知小麗步行速度為每分50公尺，求小麗家與學校的距離及小麗早晨上學需要的時間。
【觀察與思考】點b的橫座標就是小麗早晨小學需要的時間
其縱座標就是小麗家與學校的距離。本題的實質是求點b的座標，
也就是由ob，ab確定的函式關係式做成的方程組的解。而ob，oa
對應的函式易知。
解：ob對應的函式關係式為：。
因為媽媽10分鐘騎自行車走了2500公尺，其速度為250公尺/分鐘，
所以，ab對應的函式關係式為：
將（10，2500）代入，求得
解方程組得
小麗家與學校的距離為1250公尺，小麗早晨上學需要25分鐘。
【說明】本題是將方程的思想和函式圖象的意義緊密結合，才有如此簡明的解決方法。
許多和函式相關的問題，只要涉及到求值，常需要考慮借助方程。
4、和運動有關的圖形問題，凡屬運動過程中的特定形狀，特定數量以及特定位置關係的，大都需要借助構造方程來解決
例7 如圖，在梯形abcd中，ad//bc，，開始沿ad邊向d點運動，速度為1厘公尺/秒，同時點n從點c開始沿cb向點b運動，速度為2厘公尺/秒，設運動的時間為秒。
（1） 當為何值時，四邊形mncd 是平行四邊形？
（2） 當為何值時，四邊形mncd是等腰梯形？
【觀察與思考】對於（1），當四邊形mncd是平行四邊形時，
md=nc，就以這一相等關係構造關於的方程。
對於（2），畫出四邊形mncd是等腰梯形的草圖，如圖（2），
作垂足為g，作垂足為h，此時應有ng=ch，
也即cn=md+2ch。可以用這一相等關係的構造關於的方程來求解。
解：（1）md=15—，cn=2，令md=nc，得的方程
解得=5
即=5（秒）時四邊形mncd是平行四邊形。
（2）令得關於的方程
解得即（秒）時，四邊形mncd是等腰梯形。
例8 如圖，在□abcd中，ab=4，ad=3，點p和點 q同時從點a出發，以每秒1個單位的速度運動，點p沿ad→dc→cb向點b運動，點q沿射線ab的方向運動。當點p運動到點b處時，兩點的運動同時結束。設運動時間為秒。
（1）當點p在邊ad上運動時， 求使成為以d q為底邊的等腰三角形的時刻；
（2）當點p在邊dc上運動時，是否存在時刻，使線段pq和對角線bd互相平行？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
（3）當點p在邊cb上運動時，可能成為直角三角形嗎？寫出你的判斷，並說明理由；
【觀察與思考】以上三個問題，實際都歸於建立關於的方程來解決。
解：（1）點p在邊ad上運動時，。總有為等邊三角形，即。
令pd=pq，即。
（秒）時，是以dq為底邊的等腰三角形。 （1）
（2） 當點p在邊dc上運動時，。
若有pq//bd，則四邊形dbqp為平行四邊形，即pd=bq，如圖（1），也即，該方程無解。
不存在這們的時刻，使pq//bd。
（3）點p在邊cb上運動時，
若為直角三角形，只有如圖（2），此時。
令當，為直角三角形。
（2） 運動中變化著的圖形或圖形關係凡屬「特殊圖形」、「特定關係」、「特殊存在」類的問題，大都可通過構造相應的方程來解決。
5、借助方程解決某些探索性問題
例9 如圖，每個正方形點陣均被一直線分成兩個三角形點陣，根據圖中提供的資訊，用含的等式表示第個正方形點陣中的規律是
……【觀察與思考】不難發現這樣的規律:第個點陣點的總數為,被分成的兩部分有關係:下邊部分比上邊部分多個點.如此一來,可用構造方程來確定要求的規律:
設第個正方形點陣分成的兩部分是個點,個點,則
解得解：應填： 。
例10 欣賞下列的等式：
寫出乙個由7個連續整數組成，前4個數的平方和等於後3個數的平方和的等式為
【觀察與思考】關鍵是如何既簡練又確切地表示「7個連續整數」，考慮到要計算「平方和」，那麼最好的方法是，設為整數，則7個連續整數表示為：如此一來，可借助方程求出滿足要求的和7個整數來。設有
則即解得
解： 。
【說明】某些探索性問題，用方程來解決更準確、更迅速。關鍵是要善於發現問題有無構造方程的條件，以及如何恰當地應用方程。
其實，方程的作用遠不止這些。
由上可知，必須確立如下的深刻認識：
1、對於求未知數量值的問題，不管是具有實際背景的，還是純數學的；不管是代數方面的，還是幾何圖形方面的；不管是顯性的，還是較為隱含的，第一條思考解決的途徑都應當是考慮「構造方程」和解方程。
2、列出方程的關鍵是在深入分析題目情景後捕捉到「事關全域性的相等關係」，以它為基礎再具體化為方程。
如上的深刻認識和有效的落實，才是「方程思想」的深刻表現，才能真正發揮方程的工具性作用。
中考高分的關節關節2充分發揮方程的工具性作用
關節二充分發揮方程的工具性作用 方程是重要的數學工具，它可以幹什麼用呢？結論是 凡是有關 求值 的問題，不管是怎樣的背景下和情境中，絕大多數情況都可以借助構造方程來解決。一 方程用於實際問題中的求值 這方面的題目，同學們做的已經很多，這裡只舉一例。例1 秋末，由於冷空氣入侵，某地區地面氣溫急劇下降到...
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