【a級】 基礎訓練
1．(2013·浙江金華十校模擬)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝( )
a．0b．2
c．4d．8
解析：因為|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2，故選b.
答案：b
2．(2013·安徽皖南八校三模)在△oab中，已知oa＝4，ob＝2，點p是ab的垂直平分線
l上的任一點，則·＝( )
a．6b．－6
c．12d．－12
解析：設ab的中點為m，則2－2)＝－6，故選b.
答案：b
3．(2013·北京海淀模擬)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b與b垂直，則|a|＝( )
ab.c．2d．4
解析：2a－b＝(3，x)．又2a－b與b垂直，
∴(2a－b)·b＝(3，x)·(－1，x)＝0，
∴x2＝3.
|a|＝＝＝2.故選c.
答案：c
4．(2011·高考江西卷)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，
b2＝3e1＋4e2，則b1·b2
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
則b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.又因為e1，e2為單位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.
答案：－6
5．(2011·高考安徽卷)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b
的夾角為________．
解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6，得a2－2b2＋a·b＝－6，又|a|＝1，|b|＝2，得a·b＝1，設向量a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，又0≤θ≤π，故θ＝.
答案：6．(2012·高考江西卷)設單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y
解析：利用單位向量的模為1，兩向量垂直，則數量積為零求解．設單位向量m＝(x，y)，則x2＋y2＝1，若m⊥b，則m·b＝0，即2x－y＝0，解得x2＝，所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.
答案：7．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，
∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，
∴|a＋b|＝.
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.
∴|a－b|＝.
8．(2013·山東高考原創卷)已知向量a＝，b
＝(cos x，
sin x)．
(1)若a∥b，x∈，求sin x和cos x的值；
(2)若a·b＝2cos，求tan的值．
解：(1)∵a∥b，∴ sin x＝cos x，即sin x＝cos x，
又sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝，
又x∈，∴cos x＝，sin x＝＝＝.
(2)∵a·b＝cos x＋sin x＝sin xcos＋cos xsin ＝sin，
∴sin＝2cos，
顯然cos≠0，∴tan＝2，
∴tan＝tan
＝＝＝－3.
【b級】 能力提公升
1．(2013·北京東城二模)若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝且a⊥(a＋b)，則a與b的
夾角為( )
ab.cd.
解析：∵a⊥(a＋b)，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝0，
∵|a|＝1，|b|＝，
∴a·b＝－|a|2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝π，故c正確．
答案：c
2．(2013·淄博一模)設非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a、b間的夾角
為( )
a．150b．120°
c．60d．30°
解析：以a·b為鄰邊，作平行四邊形，則為菱形c＝a＋b，且|a|＝|b|＝|c|，則|a|，|b|，|c|為等邊三角形的三邊，∴〈a，b〉＝120°.
答案：b
3．(2013·濟寧一模)若等邊△abc的邊長為2，平面內一點m滿足
＝＋，則·等於( )
a．2b．－2
c．2d．－2
解析：取ab的中點d，
＝(＋)＝，m為△abc的重心．
∴||＝||＝2〈，〉＝120°.
·＝2×2×()＝－2.
答案：d
4．(2011·高考浙江卷)若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四
邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值範圍是________．
解析：依題意有|α||β|sin θ＝，即sin θ＝，由|β|≤1，得sin θ≥，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.
答案：5．(2012·高考湖南卷)如圖所示，在平行四邊形abcd中，ap⊥
bd，垂足為p，且ap＝3，
則解析：根據向量的加法幾何意義及數量積運算律求解．
2·，ap⊥bd，∴·＝0.
∵·＝||||cos ∠bap＝||2，
∴·＝2||2＝2×9＝18.
答案：18
6．(2013·烏魯木齊地區診斷)邊長為2的正方形abcd中，p、q分別是線段ac、bd上的
點，則·的最大值是________．
解析：記ac、bd的交點為o，易知ac⊥bd而當點p**段oc(不含端點o)上時，·＜0，當點p**段ao上時，有2＝，當且僅當||＝||＝時等號成立．綜上可知，·的最大值為.
答案：7．(2013·湖南張家界模擬)已知向量a＝，b＝，且x∈
.求：(1)a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值為－，求實數λ的值．
解：(1)a·b＝cos x·cos－sin xsin
＝cos＝cos 2x，
|a＋b|2＝2
＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x，
∵x∈，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.
(2)∵f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]．
①當λ＜0時，當且僅當cos x＝0時，f(x)取最小值－1與已知最小值－矛盾．
②當0≤λ≤1時，當且僅當cos x＝λ時，f(x)取最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝
③當λ＞1時，當cos x＝1時，f(x)最小值1－4λ＝
－λ＝與λ＞1矛盾．
綜上可知λ＝.
56 2019高考領航 文
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