● 一類特殊的最佳一致逼近
這時考慮空間對函式的最佳一致逼近問題
1. 問題的提出
問題1 求，使之滿足
其中，上述最佳逼近問題為與零偏差最小問題
注意不妨令首項係數，這時
記集合: 所有首項係數為1的次代數多項式的全體.
若將多項式集合限制為其子集合，則
問題1問題2 求，使之滿足
稱為關於函式的最佳一致逼近多項式，
稱為中，關於0的最佳一致逼近多項式。
非常重要，將來稱之為次chebyshev多項式。
2. 問題的適定性和收斂性
更一般的問題已經討論過。
3. 演算法
關鍵：構造
引入契比雪夫多項式
其中，為上的一一對映。
稱為次chebyshev多項式 .
考察chebyshev多項式的性質。
由,的遞推公式：
性質1由性質1，可得
性質2 是最高次數項係數為的次代數多項式，
且只含的偶次冪，只含的奇次冪.
性質3 在處交錯地取最大值1和最小值-1
其中，（因為）
在[-1，1]上有由個交錯點所構成的交錯點組
由chebyshev定理
是在[-1，1]的次最佳逼近多項式.
即定理6 在中， 對零的偏差最小.
由定理直接有
推論3 設，則
性質4 chebyshev多項式序列，在[-1，1]上
關於權函式正交，且有
權函式:
稱區間上的非負函式為權函式，若它滿足：
（1）對一切非負整數可積且有限；
（2）若對某個非負的連續函式，
則在上函式.
性質5 在[-1，1]上恰有個不同的實根：
進一步，可給出chebyshev多項式系和冪函式系的相互表示式（書pp.99）
，4. chebyshev多項式的應用
（1） 代數插值多項式餘項的極小化
對於在[-1，1]上關於節點的次插值多項式
，有餘項估計式：
其中，代數插值多項式餘項的極小化問題：
如何選取節點，使得
達到最小
因為所以上述極小化問題等價，求中與0的最佳一
致逼近多項式。可知
的零點與相同，即
並且，即：在中，找與零偏差最小的代數多項式.
由於在中， 對零的偏差最小
注1. 由上面估計式，當在[-1，1]上變化不大時， 可作為的近似最佳多項式.
注2. 如果插值區間是，不是[-1，1]，經仿射變換，上述插值節點可取為：
.（2） 利用chebyshev多項式降低近似多項式項數
利用chebyshev多項式對taylor逼近進行改造，以提高計算效率和改善其整體逼近效果.
例：利用chebyshev多項式降低的taylor展式的項數，
要求絕對誤差不超過0.00005.
第一步，將在上taylor展開（取前13項），
（*）易知 （*1）
第二步，利用和的相互表示式降低taylor展式的項數
2）由（*1）和（*2），知
對以達到精度要求。
逼近多項式的次數降低了，節省了計算工作量.
再利用和的相互表示式
. (**)
比較：按taylor展式（*）截斷到這一項則有
. 約為(**)式的絕對誤差的33倍
兩種近似的誤差曲線如下圖所示
可見當在原點附近時，taylor逼近誤差非常小；
但越偏離原點，其誤差就越大.
而運用chebyshev多項式調整後，誤差分布均勻，
即在[-1，1]上，較一致地逼近，
所以可作為的近似最佳逼近多項式.
注上面討論是在[-1，1]上進行的
對一般區間，通過仿射變換，可轉化到[-1，1]上討論，
因而有完全平行的結果
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