17.(本小題滿分8分)
已知函式.
（ⅰ）確定函式的單調區間，並指出其單調性；
（ⅱ）求函式的圖象在點x＝1處的切線與兩座標軸所圍成的三角形的面積.
18.(本小題滿分8分)
已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等於12，離心率為.
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）過橢圓左頂點作直線l，若動點m到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點m的軌跡方程.
19.(本小題滿分8分)
某汽車製造廠有一條價值為60萬元的汽車生產線，現要通過技術改造來提高其生產能力，進而提高產品的增加值.已知投入萬元用於技術改造，所獲得的產品的增加值為萬元，並且技改投入比率.
（ⅰ）求技改投入的取值範圍；
（ⅱ）當技改投入多少萬元時，所獲得的產品的增加值為最大，其最大值為多少萬元？
20.(本小題滿分10分)
已知雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，過左焦點f1作傾斜角為30°的直線l，交雙曲線於a，b兩點，f2為雙曲線的右焦點，且af2⊥x軸，如圖.
（ⅰ）求雙曲線的離心率；
（ⅱ）若|ab|＝16，求雙曲線的標準方程.
參***
一、1~5 d c a b a 6~10 c b d c a
二、11、a2≤4，則a≤2
12、x＝3
13、20 m/s.
14、15、（－1，0） 3
三、16、
【解】（ⅰ）命題p：x∈r，x2＞0； （1分）
命題q：x0∈z且y0∈z，2x0＋y0＝3.（3分）
（ⅱ）因為當x＝0時，x2＝0，所以命題p為假命題，從而命題﹁p為真命題（4分）
因為當x0＝2，y0＝－1時，2x0＋y0＝3，所以命題q為真命題.（5分）
故命題「(﹁p)∧q」是真命題.（6分）
17、【解1分）
由，得x2－2x－3＜0，即(x＋1)(x－3)＜0，所以0＜x＜3. （2分）
由，得x2－2x－3＞0，即(x＋1)(x－3)＞0，所以x＞3. （3分）
故在區間(0，3)上是增函式，在區間(3，＋∞)上是減函式. （4分）
（ⅱ）因為5分）
所以切線的方程為，即6分）
從而切線與兩座標軸的交點座標為和7分）
故切線與兩座標軸所圍成的三角形的面積. （8分）
18、【解】（ⅰ）設橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，半焦距為c.
由已知，2a＝12，所以a＝61分）
又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2. （2分）
於是b2＝a2－c2＝36－4＝323分）
因為橢圓的焦點在x軸上，故橢圓的標準方程是. （4分）
（ⅱ）法一：因為a＝6，所以直線l的方程為x＝－6，又c＝2，所以右焦點為f2(2，0). （5分）
過點m作直線l的垂線，垂足為h，由題設，|mf2|＝|mh|－4.
設點m(x，y)，則. （6分）
兩邊平方，得，即y2＝8x7分）
故點m的軌跡方程是y2＝8x8分）
法二：因為a＝6，c＝2，所以a－c＝4，從而橢圓左焦點f1到直線l的距離為45分）
由題設，動點m到橢圓右焦點的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以點m的軌跡是以右焦點為f2(2，0)為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線. （7分）
顯然拋物線的頂點在座標原點，且p＝|f1f2|＝4，故點m的軌跡方程是y2＝8x8分）
19、【解】（ⅰ）由. （3分）
故技改投入的取值範圍是(0，504分）
（ⅱ）設，. 則
5分）由，得；由，得. （6分）
所以在區間（0，40]內是增函式，在區間[40，50]內是減函式，從而當x＝40時取最大值7分）
又，故當技改投入40萬元時，所獲得的產品的增加值為最大，其最大值為32000萬元8分）
20、【解】（ⅰ）設雙曲線方程為.
由已知∠af1f2＝30°，∠a f2f1＝901分）
在rt△af2f1中3分）
因為|af1|－|af2|＝2a，所以，即，所以. （5分）
（ⅱ）因為，所以，從而雙曲線方程化為，即6分）
因為右焦點為f2(，0)，則直線l的方程為.代人雙曲線方程，得，即. （7分）
設點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則. （8分）
所以9分）
因為|ab|＝16，所以a＝5，從而.故雙曲線方程是. (10分)
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