第六章實數
6.1算術平方根（1
【問題1】 小明的媽媽有兩塊面積為1平方公尺的正方形布料如圖（1）, 現準備把它拼成乙個面積為2平方公尺的大正方形, 她想, 如果按如圖（2）所示拼接, 面積雖然為2平方公尺, 但不是正方形小明的媽媽很困惑, 你能幫助小明的媽媽解決這個困惑嗎？
【問題2】小明的媽媽很想知道面積為2平方公尺的正方形的邊長為多少？你能幫她算一算嗎？
【例題1】判斷下列說法是否正確.如正確, 則說明理由；如不正確, 則舉出反例。
（1）5是25的算術平方根（ ）
（2）任何數都有乙個算術平方根（ ）
（3）0的算術平方根是0（ ）
（4）0.01是0.1的算術平方根（ ）
（5）乙個正方形的邊長是這個正方形的面積的算術平方根（ ）
（6）一25的算術平方根是一5（ ）
【例題2】求下列各數的算術平方根
（1）10023）0.0001
（4）0.002556）
【練習】
1.求下列各數的算術平方根：
（1）642）0.253）
（456）
2.求下列各式的值：
（1）：表示的算術平方根2
（3）3.下列各式是否有意義？為什麼？
（1） （2） （3）
【問題3】有多大？
6.1算術平方根（2
【問題1】回顧估計大小的方法， 估計界於哪兩個相鄰整數之間？
【練習】1.比較下列各組數的大小
（12）
（34）
【問題2】 在生活中，我們經常遇到估計乙個數的大小的問題。請看下面的例子。小麗想用一塊面積為400 的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長方形紙片，使它的長寬之比為3:
2,。她不知能否裁得出來，正在發愁。小明見了說：
別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片。你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？
（注意：可以表示為，讀作3倍根號下50 ）
【問題3】小明利用計算器計算下表中的算術平方根，並將計算結果填在表中（第二行）。
（1）由上表，你發現了什麼規律？
（2）你能說出其中的道理嗎？
（3）根據（1）中發現的規律，求下列各數的近似值
（4）已知的近似值是1.732，根據（1）中發現的規律，寫出下列各數的近似值
（5）你能根據的近似值，寫出的近似值嗎？
【練習】2.（1）求下列各數的值：
（2）對於任意數， 等於多少？
（3）求下列各數的值：
（4）對於任意非負數， 等於多少？
6.1.3平方根
【問題1】如果乙個數的平方等於9，這個數是多少？
【問題2】 根據上面的研究過程填表：
【問題3】如果我們把分別叫做1，16，36，49，的平方根,你能模擬算術平方根的概念給出平方根的概念嗎？
【問題4】填表，說明兩個圖中的運算有關係。
求平方求平方根
填空：_____的平方等於16,16的平方根是的平方等於49,49的平方根是_______；
【例題1】 求下列各數的平方根：
（1）10023）0.25
（45）0.00166）0
【例題2】 判斷下列說法是否正確，並說明理由：
（1）49的平方根是7
（2）2是4的平方根
（3）－5是25的平方根
（4）64的平方根是8和－8
（5）－16的平方根是－4
【問題5】 根據上面的例題思考：正數的平方根有什麼特點？0的平方根是多少？負數的平方根呢？為什麼？
【問題6】 我們已經學過乙個正數的算術平方根的表示方法，那麼你能表示乙個正數a的平方根嗎？
【例題3】判斷下列各式計算是否正確，並說明理由。
，， 【例題4】 寫出下列各式的意義，並求它們的值：
（123）
【問題7】總結一下平方根與算術平方根的概念的區別與聯絡：
【練習】1.下列各式是否有意義，說明理由
（1234）________
2.判斷下列說法是否正確：
（1）0的平方根是0 （2）1的平方根是1 （3）－1的平方根是－1
（4）0.01是0.1的乙個平方根（5）5是25的算術平方根 （6）是的乙個平方根
（7）的平方根是－4 （8）0的平方根與算術平方根是0
3.以下敘述中錯誤的是（ ）
a. b. c. d.
4. 求下列各數的平方根：
（1）81 （2）0.49 （3） (4) （5）
5. 說出下列各式的意義，並求它們的值：
（1） （2） (3）
6.算術平方根是本身的數是________,平方根是本身的數是________.
若13是m的乙個平方根，則m的另乙個平方根是________.
6.2.1立方根
【問題1】 要製作一種容積為27 的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的稜長應該是多少？
【問題2】 填表：
求立方求立方根
說明兩個圖中的運算有關係，根據這種互逆關係，可以求乙個數的立方根。
【問題3】根據立方根的意義填空。
因為，所以8的立方根是______
因為，所以0.064的立方根是______
因為，所以0的立方根是______
因為，所以-8的立方根是______
因為，所以的立方根是______
你能從中發現上面各數的立方根各有什麼特點？
歸納：【問題4】 根據平方根的特徵，請你寫出數的平方根與數的立方根有哪些不同之處：
【練習】1. 判斷下列說法是否正確，說明理由：
（1）2是8的立方根2）是64的立方根
（3）是的立方根4）的立方根是－4
類似於平方根，乙個數的立方根，用符號_________表示，讀作________，其中例如，________表示8的立方根；________表示－8的立方根，。（算術平方根的符號，實際上省略了中的根指數2，因此，也可讀作二次根號）
【練習】2. 下列各式是否有意義，為什麼？
（1234）
（5） （678）
【問題5】填空：（1）
2）你能有（1）（2）得到更一般的結論嗎？
【例題1】 求下列各式的值：
（123）
（4） （5） （6）
6.2.2立方根與平方根
【問題1】 （1）平方根概念的起源與幾何中的正方形有關。如果乙個正方形的面積是a，那麼這個正方形的邊長是多少？乙個正方形的面積擴大為原來的2倍，它的邊長變為原來的多少倍？
擴大為原來的6倍呢？n倍呢？
（2）立方根概念的起源與幾何中正方體有關。如果乙個正方體的體積為v，那麼這個正方體的稜長是多少？乙個正方體的體積擴大為原來的2倍，它的邊長變為原來的多少倍？
擴大為原來的6倍呢？n倍呢？
【例題1】 回顧平方根，立方根的定義，求下列各式中的值
（123）
（4） （56）
【問題2】有多大？下面是估值的過程：
你能模仿上面的估值操作過程，估計的近似值嗎？試一試。過程寫在問題2右側空白處。
事實上，是無限不迴圈小數，很多有理數的立方根如是無限不迴圈小數。
【例題2】 比較下列各組數的大小：
（1）與2.52）與
（3）3,4，
【練習】1.求下列各數的平方根：
（1）642）0.253）
2. 求下列各數的立方根：
（12）-0.00834）
3. 求下列各式的值：
4. 下列各數分別界於哪兩個相鄰的整數之間？
（123）
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