2010高教社杯全國大學生數學建模競賽
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參賽隊員 (列印並簽名) ：1鄧洪波
2龐寧3高強
指導教師或指導教師組負責人 (列印並簽名安徽燕
日期： 2010 年 09 月 13 日
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2010高教社杯全國大學生數學建模競賽
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摘要本文討論的是儲油罐罐體發生變位時，從而導致罐容表發生變化，需要對罐容表重新進行標定。通過對儲油罐內因油麵位置不同而造成體積表示式不同的問題進行分析，建立了不同油麵位置情況下，多種油料體積表示式的模型，並對這些模型給出利用定積分求解的思路，得到了油麵在不同位置時，相應油料體積的表示式。
問題一，通過面積積分求體積的方法求得油料的體積，並應用matlab軟體模擬了油料高度與相對誤差之間的函式關係，進行了誤差修正，經驗證知修正後的模型合理，利用所求模型進而求得罐容表標定值。
問題二，分為儲油罐在無變位和有變位兩種情況，在無變位時，解決方法相對較簡單。當儲油罐發生縱向傾斜或者橫向偏轉時，解決問題的關鍵在於當儲油罐內油麵處於不同位置時，求解油料的體積，此問題仍可用積分的方法進行求解。通過分析可計算出油高與橫向偏轉角和縱向傾斜角之間的關係，進而通過積分求得相應的模型。
在求解的過程中，可設均為很小的數值，通過數學模型可得體積，然後利用附件提供的資料用matlab進行曲線擬合，通過程式的執行可以得到合適的值，最後求的，或者是，。
關鍵詞：變位識別；微元積分；曲線擬合；誤差修正
通常加油站都有儲存燃油的地下儲油罐，並且都有與之配套的「油位計量系統」，採用流量計和油位計來測量進出油量與罐內油位高度等資料，通過預先標定的罐容表進行實時計算，以得到館內油位高度和儲油量的變化情況。但是許多儲油罐在使用一段時間後由於地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化，從而導致罐容表發生改變，按照相關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。本文即為解決儲油罐變位識別和罐容表重新標定的問題。
問題一：利用小橢圓形儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）分別對無變位和傾斜角為的縱向變位做了實驗，試研究罐體變位後對罐容表的影響，並給出變位後油位高度間隔的罐容表標定值。
問題二：對於實際儲油罐，試建立變位後罐容表的數學模型，即建立罐內儲油量與油位高度及縱向傾斜角度和橫向偏轉角度之間的關係，並根據實際檢測資料給出罐體變位後油位高度間隔的罐容表標定值，同時利用實際檢測資料分析驗證模型的可靠性。
本文研究的是儲油罐受地基變形等原因，罐體的位置發生變位，從而導致罐容表發生改變的問題。按照有關規定，需要對罐容表進行重新標定。
問題一，研究的物件是小橢圓型儲油罐，當儲油罐沒有變位時，可由簡單的數學積分知識求解油料橫截面積，再由柱體的體積公式求解油料的體積，方法相對簡單；當研究有變位的情況時，即小橢圓型儲油罐發生縱向傾斜時，通過觀察附件中資料發現，儲油罐發生變化將導致罐容表的精度發生變化，因此，需要重新設定罐容表的標定值，同樣運用數學中的積分知識，可求油罐中油料的體積，此時，油料的體積是關於油位高度和傾斜角的函式，找出函式關係式可以對罐容表進行重新標定。
問題二，研究的物件是實際儲油罐。對於實際儲油罐，要求建立罐體變位後標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位引數（縱向傾斜角度和橫向偏轉角度 ）之間的一般關係。根據數學模型確定變位引數和，當研究油罐縱向傾斜時，建模方法同問題一，當研究橫向偏轉時，可以找出油位高度和傾斜角之間的關係，從而可以表達出油料體積與，和之間的關係，進而可以對罐容表重新標定。
1. 整個實驗過程中儲油罐內外溫度保持不變；
2．出油管、進油管、油位探針占用儲油罐的體積較小，可以忽略不計；
3．儲油罐傾斜角度為準確的，沒有誤差；
4．儲油罐進油和出油時，對儲油罐的傾斜沒有影響；
5．儲油罐內壁均勻，為理想的柱體或球冠體。
：橢圓型儲油罐橫截面的長半軸
：橢圓型儲油罐橫截面的短半軸
：有變位時油麵到儲油罐罐底的距離
：油位探針測量出的油位高度
：儲油罐兩端球冠體的半徑
：圓柱體儲油罐橫截面圓的半徑
：小橢圓型儲油罐內任一液面離軸的距離為
：圓柱體儲油罐橫截面圓心到油液面的距離
：儲油罐罐容表示式
：修正後儲油罐罐容表示式
無變位時儲油罐的兩端為橢圓形，根據積分的概念，體積元素
，.儲油罐縱切面如圖5.1.1所示
圖5.1.1
設橢圓公式為,則有
,故無變位時小橢圓型儲油罐的罐容量為
,又因為,所以
.1.當時，設橫切面的橢圓方程為
,油罐的傾斜度為,即
,任一液面離軸的距離為,由圖5.1.2、圖5.1.3可得
,圖5.1.2圖5.1.3
被積區域內取被積三角形，使其垂直與面，其底面邊
,則被積三角形面積為
,經上述分析可得儲油罐罐容表示式為
, (1)式中.
2.當時,此時液面公升高至油罐另一端橢圓面線上時須將上述一般公式計算出的結果減去相應的罐外虛擬部分，如圖5.1.4所示
圖5.1.4
即所求部分為
2)此時
,利用上述第一種情況的方法同樣可得
3)因此由式(1)、(2)、(3)可得到儲油罐罐容為
. (4)
上式用matlab繪圖的得到儲油罐罐容與油浮子測量的高度關係如圖5.1.5.
圖5.1.5 儲油罐罐容與油浮子測量的高度關係
由於當油浮子測量高度超過以後，測量罐容與附件1所給實際罐容差值較大，故採用以下誤差糾正法對資料曲線進行糾正：
首先用相同高度下儲油罐罐容實際值減去罐容測量值，得到兩者的一組差值，然後用matlab資料擬合的方法擬合出這組差值的曲線如圖5.1.6
圖5.1.6儲油罐罐容實際值與測量值的差值
用polyfit函式擬合出該曲線為2次函式曲線，其方程為
.則修正後的儲油罐罐容表示式為
.將修正之後的罐容值與實際罐容值進行擬合得到圖5.1.7，圖中虛線為實際值，實線為修正之後罐容與高度關係曲線。
圖5.1.7 修正之後的罐容與高度關係曲線
修正後的罐容與實際罐容值的差值見表5.1.
表5.1 修正後罐容值與實際值的誤差
儲油罐的變位識別與罐容表標定
2010高教社杯全國大學生數學建模競賽 承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式 包括 電子郵件 網上諮詢等 與隊外的任何人 包括指導教師 研究 討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開...
儲油罐的變位識別與罐容表標定
摘要油品計量是油品儲運系統的日常工作之一。本文研究了由於地基變形等原因，導致加油站地下儲油罐因變位而引起的罐容表重新標定問題。問題一利用小橢圓形儲油罐對罐體無變位和傾斜角的縱向變位兩種情況的實驗資料，首先借助積分的思想，建立小橢圓形儲油罐內油品體積和油麵高度的函式關係式，進而得到無變位情況下小橢圓形...
儲油罐起重吊裝方案
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