要點梳理
1、圓的方程：（1）圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑．
（2）圓的一般方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，其中d2＋e2－4f>0，
2、確定圓的方程主要方法是「待定係數法」，大致步驟為：
(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；
(2)根據條件列出關於a，b，r或d、e、f的方程組；
(3)解出a、b、r或d、e、f代入標準方程或一般方程．
【注意】：確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(1)圓心在過切點且垂直切線的直線上；
2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線．
3、直線與圓的位置關係
設直線l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
聯立直線和圓的方程，消元後得到的一元二次方程的判別式為δ.
4、圓與圓的位置關係
設圓o1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r (r1>0)，圓o2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2>0).
【注意】：判斷兩圓的位置關係常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關係，一般不採用代數法．
5、圓的切線方程
（1） 過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法
先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關係知切線斜率為－，由點斜式方程可求切線方程；
若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.
（2） 過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法
①幾何方法：當斜率存在時，設為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等於半徑，即可得出切線方程．
②代數方法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得乙個關於x的一元二次方程，由δ＝0，求得k，切線方程即可求出．
6、兩圓公共弦所在直線方程求法
若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．
7、圓的弦長的求法
(1)幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2＝r2－d2.
(2)代數法：設直線與圓相交於a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，解方程組，消y後得關於x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長為|ab|＝(k為直線斜率)．
【注意】：在圓的弦長問題，注意應用圓的性質解題，即用圓心與弦中點的連線與弦垂直的性質，可以用勾股定理或斜率之積為－1或向量數量積為0列方程來簡化運算．
題型一求圓的方程
①幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量．②代數法，即設出圓的方程，用待定係數法求解．
例1、 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值範圍是
解析 2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，－ a2－a＋1>0，∴3a2＋4a－4<0，∴－2例2、(1) 圓c的圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切於點p(3，－2)，求圓c的方程
(2) 圓c經過a(4,2)，b(－1,3)兩點，且在兩座標軸上的四個截距的和為2，求圓c的方程
(3) 圓c通過不同的三點p(k,0)，q(2,0)，r(0,1)，已知圓c在點p處的切線斜率為1，求圓c的方程．
解(1)設圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1，∴x0＝1，即圓心座標為(1，－4)，半徑r＝2，
故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
（2）設圓的方程為x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，將a、b點的座標分別代入得
與x軸的截距：令y=0, x2＋dx＋f＝0，x1＋x2= -d;與y軸的截距：令x=0, y2＋ey＋f＝0，y1＋y2= -e
∵在兩座標軸上的四個截距的和為2 ∴-d -e=2③ 由①、②、④解得(x－1)2＋y2＝13.
（3）∵由p(k,0)，q(2,0)，得圓心橫座標為；由q(2,0)，r(0,1)，得圓心在直線上
∴圓心座標為.∵圓c在點p處的切線斜率為1，∴kcp＝－1＝，∴k＝－3.
∴所求圓c的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
題型二與圓有關的最值問題
圓有關的最值問題，常見的有以下幾種型別：
(1)形如μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
例3、已知實數x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.（1）求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值．
解：根據代數式的幾何意義，借助圖形來求最值．
(1)原方程化為(x－2)2＋y2＝3，表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓．設＝k，即y＝kx，當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±.故的最大值為，最小值為－.
(2)設y－x＝b，即y＝x＋b，當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，即b＝－2±.故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
例4、已知m為圓c：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點q(－2,3)．
(1)求|mq|的最大值和最小值； (2)若m(m，n)，求的最大值和最小值．
解 (1)由c：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心c的座標為(2,7)，半徑r＝2.
又|qc|＝＝4. ∴|mq|max＝4＋2＝6，|mq|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線mq的斜率，設直線mq的方程為y－3＝k(x＋2)，＝k.
∵直線mq與圓c有交點，∴≤2，解得2－≤k≤2＋，
∴的最大值為2＋，最小值為2－.
題型三與圓有關的軌跡問題
求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常採用以下方法：
①直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．②定義法：根據圓、直線等定義列方程．
③幾何法：利用圓的幾何性質列方程代入法：找到要求點與已知點的關係，代入已知點滿足的關係式
例5、設定點m(－3,4)，動點n在圓x2＋y2＝4上運動，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點p的軌跡．
解結合圖形尋求點p和點m座標的關係，用相關點法(代入法)解決．
設p(x，y)，則線段op的中點座標為，由於平行四邊形的對角線互相平分，線段mn的中點座標為
又∵.m(－3,4) ∴.n(x+3，y-4) ∵n(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但應除去兩點和(點p在直線om上時的情況)．
題型四直線與圓的位置關係
例6、已知直線l：y＝kx＋1，圓c：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)試證明：不論k為何實數，直線l和圓c總有兩個交點；
(2)求直線l被圓c截得的最短弦長．
(1)由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因為δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不論k為何實數，直線l和圓c總有兩個交點．
(2)方法一：代數法----設直線與圓交於a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點，
則直線l被圓c截得的弦長|ab|＝|x1－x2|＝2＝2，
令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0，當t＝0時，k＝－；當t≠0時，δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0；綜上得－1≤t≤4故的最大值為4，此時|ab|最小為2.
方法二：幾何法----由平面幾何知識得|ab|＝2＝2
題型五圓與圓的位置關係
例7、已知圓c與圓c1：x2＋y2－2x＝0相外切，並且與直線l：x＋y＝0相切於點p(3，－)，求圓c的方程．
解設所求圓的圓心為c(a，b)，半徑長為r，則圓c的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵c(a，b)在過點p且與l垂直的直線上，∴＝.①
又∵圓c與l相切於點p，∴r＝.②
∵圓c與圓c1相外切，∴＝r＋1.③
由①得a－b－4＝0，
從而由②③④可得＝|2a－6|＋1，④
解得，或，此時，r＝2或r＝6.
即所求的圓c的方程為
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
題型五圓的問題綜合
例8、 已知點p(0,5)及圓c：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點p且被圓c截得的線段長為4，求l的方程 (2)求過p點的圓c的弦的中點的軌跡方程．
在解決直線與圓的位置關係時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數計算，這樣既簡單又不容易出錯．
解 (1)，將圓c方程化為標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圓心c(－2,6)，半徑r＝4，
∴設d是線段ab的中點，則cd⊥ab，∵|ab|＝4，|ac|＝4∴.|cd|＝2.
①當直線l存在斜率時，設斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點c到直線ab的距離公式：＝2，得k＝.故直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
第四章圓與方程知識點
必修2 第四章圓與方程 4.1圓的方程 一 圓的方程 1 標準式 圓心,半徑為r 2 一般式 當表示圓，圓心c 半徑為 當表示點 當不表示任何圖形 3 引數方程 2 圓上一點的切線方程 1 圓上一點的切線方程為 2 圓上一點的切線方程為 3 點與圓的位置關係 1 圓方程為標準式 點在圓外 點在圓上 ...
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單元測評 十 一 選擇題 1.方程x2 y2 2ax by c 0表示圓心為c 2，2 半徑為2的圓，則a b c的值 依次為 a 2 4 4 b 2 4 4 c 2 4 4 d 2 4 4 2.直線3x 4y 4 0被圓 x 3 2 y2 9截得的弦長為 ab 4cd 2 3.點的內部，則的取值範...
新課標高中數學必修2第四章 圓與方程總結
4.1.1 圓的標準方程 學習目標 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程 能用待定係數法 幾何法求圓的標準方程.知識要點 1.圓的標準方程 方程表示圓心為a a，b 半徑長為r的圓.2.求圓的標準方程的常用方法 1 幾何法 根據題意，求出圓心座標與半徑，然後寫出標準方程 ...