§4.1.1 圓的標準方程
¤學習目標：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程；能用待定係數法、幾何法求圓的標準方程.
¤知識要點：
1. 圓的標準方程：方程表示圓心為a（a，b），半徑長為r的圓.
2. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據題意，求出圓心座標與半徑，然後寫出標準方程；
（2）待定係數法：先根據條件列出關於a、b、r的方程組，然後解出a、b、r，再代入標準方程.
¤例題精講：
【例1】（01年全國卷.文）過點、且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是（ ）.
a.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 b.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
c.（x－1）2＋（y－1）2＝4 d.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
解：由圓心在直線x＋y－2＝0上可以得到a、c滿足條件, 再把a點座標（1，－1）代入圓方程. a不滿足條件. 所以，選c.
另解：設圓心c的座標為(a，b)，半徑為r,
因為圓心c在直線x+y－2=0上, ∴b=2－a.
由|ca|=|cb|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1.
因此，所求圓的方程為（x－1）2+（y－1）2=4. 選c.
【例2】求下列各圓的方程：
（1）過點，圓心在；
（2）圓心在直線上的圓c與y軸交於兩點
解：（1）設所求圓的方程為. 則
， 解得. ∴ 圓的方程為.
（2）圓心**段ab的垂直平分線上，代入直線得，
圓心為，半徑.
∴ 圓c的方程為.
【例3】推導以點為圓心，為半徑的圓的方程.
解：設圓上任意一點，則.
由兩點間的距離公式，得到.
化簡即得圓的標準方程：
點評：這裡的推導方法，實質就是求曲線方程的通法，其基本步驟是：建系設點（建立合適的座標系，設所求曲線上的動點）→寫條件（寫出動點m所滿足的條件）→列式（用座標來表示所寫出的條件，列出方程）→化為最簡→特殊說明.
【例4】乙個圓經過點與，圓心在直線上，求此圓的方程.
解：設圓心，則， 解得.
圓的半徑.
∴ 圓的標準方程為.
另解：線段ab的中點，即. 直線ab的斜率.
所以弦ab的垂直平分線的方程為，即.
解方程組，得， 即圓心.
圓的半徑.
∴ 圓的標準方程為.
點評：兩種解法，都是先求出圓心與半徑，第一種解法用設圓心座標後列方程而求，第二種解法用兩條直線的交點求圓心. 由上可得，解法關鍵都是如何求圓心與半徑.
§4.1.1 圓的標準方程
※基礎達標
1．圓的圓心和半徑分別是（ ）.
a．，1 b．，3 c．， d．，
2．已知直線l的方程為，則圓上的點到直線l的距離的最小值是（ ）.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
3．過兩點p(2,2),q(4,2) 且圓心在直線上的圓的標準方程是（ ）.
ab.cd.
4．（04年天津卷理7）若為圓的弦ab的中點，則直線ab的方程是（ ）.
a. b. c. d.
5．已知圓，一束光線從點經軸反射到圓周的最短路程是（ ）.
a. b. 8cd. 10
6．已知點a(－4，－5)，b(6，－1)，則以線段ab為直徑的圓的方程為
7．（04年江蘇卷.14）以點為圓心，與直線相切的圓的方程是
※能力提高
8．求經過點a（5，2），b（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上圓方程.
9．求與x軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長等於的圓的方程.
※**創新
10．（03年京春文）設a（－c，0），b（c，0）（c>0）為兩定點，動點p到a點的距離與到b點的距離的比為定值a（a>0），求p點的軌跡.
§4.1.2 圓的一般方程
¤學習目標：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角座標系中，探索並掌握圓的一般方程；能用待定係數法求圓的一般方程.
¤知識要點：
1. 圓的一般方程：方程（）表示圓心是，半徑長為的圓. 2. 軌跡方程是指點動點m的座標滿足的關係式.
¤例題精講：
【例1】求過三點a(2,2)、b(5,3)、c(3,－1)的圓的方程.
解：設所求圓的方程為. 則
， 解得.
∴ 圓的方程為.
【例2】設方程，若該方程表示乙個圓，求m的取值範圍及圓心的軌跡方程.
解：配方得，該方程表示圓，則有
，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，
由得x=m+3. ∴所求的軌跡方程是，
【例3】已知線段ab的端點b的座標是(4,3)，端點a在圓上運動，求線段ab的中點軌跡方程. （教材p133 例5 另解）（利用中點座標公式可更簡單）
解：設圓的圓心為p(-1,0)，半徑長為2，線段ab中點為m(x, y).
取pb中點n,其座標為(,)，即n(,).
∵ m、n為ab、pb的中點,
∴ mn∥pa且mn=pa=1.
∴ 動點m的軌跡為以n為圓心，半徑長為1的圓.
所求軌跡方程為：.
點評：此解為定義法，利用中位線這一幾何性質，將所求動點的軌跡轉化為到定點的距離等於定長，即圓的定義. 解法關鍵是連線pb，取pb的中點n，得到mn的長度為定值.
教材中的解法是通過設動點的座標，然後找出相關的幾何條件，得到動點座標所滿足等式即所求軌跡方程.
【例4】求經過兩點，且在兩座標軸上的四個截距之和為4的圓的方程.
解：設所求圓的方程為.
當時，，則； 當時，，則.
則， 解得.
∴ 圓的方程為.
點評：用待定係數法的一般步驟是「設（設含待定係數的方程）→列（利用條件列出係數所滿足的方程組）→求（解方程組）→寫（寫出所求方程）」. 當已知圓上三點或兩點時，選用圓的一般方程形式較為簡單.
當易知圓心和半徑時，選用圓的標準方程形式易求解.
§4.1.2 圓的一般方程
※基礎達標
1．方程表示圓的條件是（ ）.
a. b. c. d.
2．m（3，0）是圓內一點，過m點最長的弦所在的直線方程是（ ）.
a. b. c. d.
3．（04年重慶卷.文理3）圓的圓心到直線的距離為（ ）.
a . 2bc. 1 d.
4．（1999全國文）曲線x2+y2+2x－2y=0關於（ ）.
a. 直線x=軸對稱b. 直線y=－x軸對稱
c. 點（－2，）中心對稱d. 點（－，0）中心對稱
5．若實數滿足，則的最大值是（ ）.
a. b. c. d.
6．已知圓c：(x-1)2+y2=1，過座標原點o作弦oa，則oa中點的軌跡方程是
7．（1997上海卷）設圓x2+y2－4x－5=0的弦ab的中點為p（3，1），則直線ab的方程是
※能力提高
8．求經過三點、、的圓的方程.
9．一曲線是與定點o(0,0)，a(3,0)距離的比是的點的軌跡，求此曲線的軌跡方程.
※**創新
10．如圖，過圓o：x2+y2=4與y軸正半軸交點a作此圓的切線at，m為at上任一點，過m作圓o的另一條切線，切點為q，求△maq垂心p的軌跡方程.
§4.2.1 直線與圓的位置關係
¤學習目標：能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關係；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.
¤知識要點：
1. 直線與圓的位置關係及其判定： 方法一：方程組思想，由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，由判別式符號進行判別；
方法二：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.
（1）相交；（2）相切；（3）相離.
2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質，也要掌握一些常用公式，例如點線距離公式
¤例題精講：
【例1】（02年全國卷.文）若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則a的值為 .
解：將圓x2＋y2－2x＝0的方程化為標準式：（x－1）2＋y2＝1, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1＋a）x＋y＋1＝0與該圓相切，則圓心到直線的距離， ∴ a＝－1.
【例2】求直線被圓所截得的弦長. （p144 練習1題）
解：由題意，列出方程組，消y得，得，.
設直線與圓交於點，，則
=.另解：圓心c的座標是，半徑長. 圓心到直線的距離.
所以，直線被圓截得的弦長是.
【例3】（04年遼寧卷.13）若經過點的直線與圓相切，則此直線在y軸上的截距是 .
解：圓的標準方程為，則圓心，半徑.
設過點的直線方程為，即.
∴ 圓心到切線的距離，解得.
∴ 直線方程為，在y軸上的截距是1.
點評：研究直線和圓的相切，簡捷的方法是利用公式，還可以由方程組只有乙個實根進行解答. 選擇恰當的方法，是我們解題的一種能力.
【例4】設圓上的點a（2，3）關於直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓的方程.
解：設a關於直線x+2y=0的對稱點為a』. 由已知得aa』為圓的弦，得到aa』的對稱軸x+2y=0過圓心.
設圓心p（-2a，a），半徑為r， 則r=|pa|=(-2a-2)2+(a-3)2.
又弦長，圓心到弦aa』的距離為，
∴， 即4(a+1)2+(a-3)2=2+， 解得a=-7或a=-3.
當a=-3時，r=；當a=-7時，r=. ∴ 所求圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
§4.2.1 直線與圓的位置關係
※基礎達標
1．直線4x－3y－2＝0與圓的位置關係是（ ）.
新課標高中數學 必修2 第四章 圓與方程 綜合訓練 題與答案
科目 數學 適用年級 高 一 高二 資料名稱 新課標高中數學 必修2 第四章圓與方程 綜合訓練 測試題 一 選擇題 1 若直線被圓所截得的弦長為,則實數的值為 a 或 b 或 c 或 d 或2 直線與圓交於兩點，則 是原點 的面積為 3 直線過點，與圓有兩個交點時，斜率的取值範圍是 a b c d ...
高中數學必修2知識點總結第四章圓與方程
高中數學必修2知識點總結 第四章圓與方程 4.1.1 圓的標準方程 1 圓的標準方程 圓心為a a,b 半徑為r的圓的方程 2 點與圓的關係的判斷方法 1 點在圓外 2 點在圓上 3 點在圓內 4.1.2 圓的一般方程 1 圓的一般方程 2 圓的一般方程的特點 1 x2和y2的係數相同，不等於0 沒...
必修2 第四章 圓與方程
要點梳理 1 圓的方程 1 圓的標準方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 a，b 為圓心，r為半徑 2 圓的一般方程x2 y2 dx ey f 0，其中d2 e2 4f 0，2 確定圓的方程主要方法是 待定係數法 大致步驟為 1 根據題意，選擇標準方程或一般方程 2 根據條件列出關於a，...