一. 學習目的
1. 了解平面向量基本定理及其意義；
2. 掌握平面向量的正交分解及座標表示；
3. 會用座標表示平面向量的加法，減法與數乘運算；
4. 理解用座標表示的平面向量共線的條件.
二. 要點解析
1. 平面向量基本定理
如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使得.
例如圖1，在中，對角線交點為，
(1) 設，為基向量，則
(2) 設，為基向量，則
(3) 設，為基向量，則
說明：(1) 基底必須是兩個不共線的向量，零向量不能作為基底；
(2) 基底不同，表示也不同；
(3) 平面內的任一向量都可以用不共線的向量來表示.
2. 向量的垂直與夾角
已知兩個非零向量和，作，，則叫做向量與的夾角. 當時，與同向；當時，與反向；當時，與垂直，記作.
例如圖2，在中，，則與的夾角不是，而是.
強調：與夾角對應的兩向量的起點要相同，注意向量的平移及方向.
3. 平面向量的正交分解及座標表示
把乙個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，即用兩個互相垂直的向量來表示叫平面向量的正交分解.
如圖3，在平面直角座標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底. 對於平面內的乙個向量，有且只有一對實數、，使.
把有序實數對叫向量的座標，記作，其中叫在軸上的座標，即橫座標，叫在軸上的座標,即縱座標.
把叫向量的座標表示.
強調：(1) 記，則；
記，，則；
(2) 向量可以平移. 相等的向量座標是相同的；
(3) 向量的座標表示為向量運算的數量化、代數化奠定的基礎.
4. 向量的座標運算
記，，. 則
，， 5. 平面向量共線的座標表示
記，，其中，則
三典例評析
例1 (2008全國卷ⅰ理3) 在中，，，若點滿足，則 ( )
a. b. c. d.
評析：如圖4，本題實質上考察平面向量基本定理：用、作為基向量表示.
由得，易得.
例2 (2008全國卷ⅱ13) 設向量，，若與共線，則_______.
評析：本題考查向量貢獻的座標表示及座標運算.
由已知，得，解得.
例3 若向量，，，則等於 （ ）
a. b. c. d.
評析：本題考查向量線性運算的座標表示，由於條件中只給出，，的座標，故可考慮從「數」的角度出發用、表示，又，不共線，則一定存在實數，，使得，然後用向量座標建立，的方程組.
設，則，解得，故選(b)
向量通過座標形式可以轉化為數的範圍內的運算，故可與代數中的方程、不等式、函式等知識產生聯絡. 本題的解答中運用了待定係數法，滲透了方程思想，之所以能用待定係數法是因為有平面向量基本定理作保障.
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