小議數學之道
「師者，所以傳道、授業、解惑也。」千百年來，絕大多數教師都認可教師的工作是解惑、授業、傳道。「道之不存也久亦！
」我們也承認這一點。尤其是數學教學，多數已淪落為解題答疑了。至於數學中何來道？
如何傳？幾乎不在思考之列。
事實上，數學是自然科學之母，她是最接近或者感悟到哲學的學科。如果我們能放下功利之心只看分數，放下急迫之情去對答案，也許能更多感悟到數學之道蘊含很多哲理，蘊含很多為人處事生活之道。有人說，數學應該講原理，講道理，更應講點哲理。
我深以為然。
一、 解題與做事之道
學習數學主要通過解題體現。通常我們拿到乙個數學問題，要從問題的一般思考方法入手，而不能只是回憶是否做過？是否見過？
是否記得答案。這樣的解題之道容易導致我們思維僵化，滋生不勞而獲的心理。
絕大多數數學問題，都容易看出是用什麼知識點為載體，能理解最終的問題核心是什麼。這樣，我們就需要先考慮一下原理，然後梳理基本問題分析的一些通法，整理完成這些解答需要的一些基本步驟。竊以為這才是最基本的解題之道。
例1：在△abc中，已知且三角形的面積為，求角b。
分析：本題是解三角形問題，也就是通過三角形已知的一些邊角，求其它的邊角。基本的原理和方法是利用正弦定理，餘弦定理，面積公式等建立邊、角的若干等式，通過解方程或者直接利用公式計算。
但顯然沒有直接由到角b的公式。但有公式直接聯絡，即，於是我們可得到角c及余弦值（有兩種可能），然後用餘弦定理得到邊c，再利用餘弦定理得到角b。
例2：求拋物線經過點p（1，2）對稱後的曲線為d，求曲線d的方程。
分析：求曲線方程就是要求解曲線上每一點的橫、縱座標滿足的等式。根據求曲線方程的基本方法，設為曲線d上任意一點，然後求點m滿足的等式，顯然沒有明確的關係。
但注意到曲線c與d的對稱性及對稱的可逆性，點m關於點p的對稱點在曲線c上。點在曲線上是乙個自然的很重要的方程**，代人後即得曲線d的方程。
數學教師經常感到很無奈的是，學生常在一些「基本的問題」中給出很凌亂很讓人無語的解答，看起來完全是答非所問，更無邏輯道理可言。其實，學生還沒有理解所謂的基礎。首先要理解數學的基礎包括基本概念（問題的理解關鍵），基本問題（通性通法的對應），基本步驟（可操作的順序）。
從上述基本的數學問題的解題之道中，我們不難聯絡到生活中的很多方面也是這樣的。如當我們購買了乙個新產品，我們首先要了解其功能，閱讀使用手冊。我們在實驗生產過程中要注意遵循操作手冊，這是安全完成的基礎。
即使我們與他人發生了衝突，解決之道也是首先分析矛盾焦點，然後是解決的原則（不違法），要有耐心一步步工作做好，問題通常就容易解決了。我想，基本的數學解題之道也是一種處事之道。
二、 表述與交流之道
數學向來以精確、理性示人，給人一種敬而遠之的感覺。其實數學也是一種語言，她的的簡潔、準確不僅僅在數學問題解決過程中，也體現在問題的描述中。
例3：平面性質的公理。
我們在研究幾何時，需要對研究的物件——平面做一些描述。對於像點、直線、平面這樣的基本概念，我們很難去描述，但數學語言給出了一種很好的方案。理想中的平面是很「平」的，很「薄」的，沒有厚度。
但這些模糊的說法有時候容易陷入狡辯的迷局中。我們來看公理的敘述。公理1：
如果一條直線上有兩點在某平面上，則直線上所有的點都在這個平面上。公理2：如果兩個平面有乙個公共點，則這兩個平面有經過這一公共點的唯一公共直線。
看起來這兩個公理很神秘，這能說明平面的什麼性質呢？但我們仔細體會一下，公理1正是說明了平面的很「平」的，直線有多直，平面就有多平。公理2則說明了平面是很「薄」的，直線有多細，平面就有多薄。
這樣的敘述完全可以媲美古典詩詞中含蓄的雙關，既準確，又優美。
例4：二分法與近似解。
大資料時代，乙個很重要的需求就是準確。我們需要準確評價乙個人的潛質，我們需要準確導航定位，我們需要對市場顧客需求的準確分析，我們需要對化驗檢測的準確評析。但這些內容通常我們都無法給出乙個確切的量化數值，但我們需要合理的更準確的近似。
這就像數學中超越方程的解，我們無法準確給出。但數學中可以用二分法去近似求解，而且你要多精確就多精確。這種對問題準確簡練的表述在我們的生活中也非常需要。
現在**部分有關資訊的披露經常含糊不清，於是導致更多的不安定和不信任。我們人與人的交往也需要明確、準確、簡潔的表述，這樣就可以減少誤會，減少別人撿漏犯錯的機率。我們的生活中充滿各種誤會，往往是交流資訊不準確造成的，有時候模稜兩可的表述不同的人理解很容易導致偏差。
如果我們在很多資訊發布時借助數學的精確、簡潔，也許我們做事的效率會提高很多，我們的生活也會和諧很多。
三、 基礎與成功之道
每次考試成績不好，很多教師和學生就開始自責，基礎不好，沒有很好的夯實數學基礎。究竟什麼是數學的基礎呢？我們教師清楚了嗎？
學生自己明白了嗎？我們以為簡單的就是基礎，常規的就是基礎，這是值得斟酌的。
例5：解析幾何的基本問題
課本中有明確的表述，平面解析幾何要研究的兩個基本問題是：根據條件，求出相應曲線的方程；根據方程，研究曲線的性質。看起來比較抽象，學生還是難以理解。
有時碰到一些解析幾何問題，徹底忘卻基本問題，於是無處入手。具體到直線而言，基本的問題一是確定直線方程，二是計算直線的有關度量。對於問題一，確定直線方程有多種不同形式待定求解，根據具體問題選擇使用；對於問題二，根據要求利用適當公式進行計算，如交點、距離、角度等。
數學的基礎，首先在於我們要理解每一章節內容是什麼？為什麼？怎麼辦？
具體到解析幾何就轉化為上述兩個基本問題。這樣的系統化在每一章節都是類似的。例如函式，基本問題也是確定函式關係，研究函式基本性質。
對數列，則是確定數列通項，研究數列性質。對於不等式，則是判斷不等關係，求解不等式。對於立體集合，則是確定線、面位置關係，計算線、面之間各種度量。
總之，明確了這些基本問題，其它的方法、步驟也就順理成章了。
基礎之道顯然也適應我們生活的方方面面。我們通過運動鍛鍊身體，力量、耐力、柔韌性是我們的基本目的。奧林匹克的口號是「更高、更快、更強」就是對這些基礎的追求。
我們的生活，生存基礎是衣食住行，也是百姓的基本要求。沒有這些的基本滿足，更高層次的追求是不現實的。我們經常性的思考一些基礎問題，也許我們的目標、成功的標準都會有些變化，生活中也許能感受更多成功的驚喜，生活會變得更有意義。
四、 多解與興趣之道
應試的直接後果導致大多數學生期望以量多致勝，導致題海戰術的廣泛採用。但這樣對我們理解數學，提高數學思維能力其實作用甚微。就像我們去了解某個地方，走馬觀花式的旅遊是看不到問題的實質，也無法提公升我們對生活的感悟。
例6：已知函式，求證：對任意，都有
分析：看著簡單，其實證明這個不等關係還是有些麻煩，關鍵是我們如何看到這個問題。俗話說「橫看成嶺側成峰」，我們從不同的角度看，從不同的角度入手，就會有不同的過程。
但「條條道路同羅馬」，最終都能達到不等式的證明。
方法一：我們重點在函式，那麼，要證明的不等式與函式的什麼性質最為接近呢？我們講結論改寫成，也許你就能看出點什麼了吧！
方法二：我們的重點是不等式，看起來絕對值有些麻煩，平方吧，式子會更複雜，不平方吧怎麼處理？你想過這一點了嗎？哈哈，你終於想到如何處理這個矛盾了！
方法三：我們可以畫個圖看看，每個表示式看起來都有幾何意義？哦，你終於看出來了，這不就是最基本的不等關係嗎！
方法四：我首先注意到了根號，如果沒有就好了？有辦法可以把根號去掉嗎？對了，換元可以做到，究竟該如何換呢？
在上述不同角度的分析體驗中，你是否體會到了數學的趣味性？挑戰性？數學還是很好玩的。
例7：據說發生在美國校園中的故事。學生問：1×8和8×1到底有什麼區別？教師答：你想像一下自己跟8個女孩子各約會一次和跟1個女孩子約會8次的區別！
這簡直就是神回覆。我們現在學習數學的常態是做很多題目，不一樣的題目，期望值考試中能碰到做過的從而得到乙個高分。我們忘記了數學是以不變應萬變的，只有深入思考，同樣的問題不同的角度思考，才能體會數學的奧秘，才能感受數學的魅力。
很多數學學習成功者的體會是經常反思，我們要主動思考曾經做過的問題。多嘗試幾次一題多解，你對數學的麻木與無奈也許會有所改觀。
生活中何嘗不是如此呢？我們經歷多次，才會有感悟，無論愛恨都會深刻。
五、 學問與生活之道
例8：分牛的故事。這是乙個流傳已久的故事。
從前有位農夫立下遺囑將自己的17頭牛分給三個兒子。大兒子，二兒子，小兒子，按照當地習俗，牛是神聖動物，不得宰殺。那該如何分割遺產呢？
標準的解答是先借一頭牛，這樣大兒子得9頭牛，二兒子得6頭牛，小兒子得2頭牛，還剩下一頭牛，還給人家。
一直覺得分法的巧妙與神奇，以至於都不知道還能說什麼。後來，終於有些困惑：這樣的分法是合理嗎？
為什麼？如果農夫有18頭牛呢？原來問題還是很多的。
學習就是在這樣不同的疑問與思考中進步的。
例9：美國的概率教材。記得美國教材中概率的設計在各學段是很不相同的。
如骰子問題，小學只要求記錄投骰子後每一次的狀態，那只是一種遊戲，沒有更多的解釋；中學則要求能根據等可能事件概率基本原理進行計算比較；大學則開始思考概率的本質，要求理解大數定理等。在不同的階段有基本的要求，而我們的教學則似乎有些迫不及待，要把學生能自行得到的觀察計算結果告訴他們。但實際上，總有一些小學生能發現骰子記錄中有些不一樣的特點，總有一些中學生會思考該如何去解釋這種現象，總有一些大學生會去思考概率中的一些基本問題。
真正的學問，就是在不斷的學習與提問的反覆中提高的。
有一種觀點，學習不是learn，而是study。study中英文中含有研究的意思，學習的確需要有思考研究的經歷。子曰：
「學而時習之，不亦樂乎」。我想，這裡的學習不僅僅是指學校中的學習，生活中的方法麵麵都何嘗不是這樣呢？
俗話說，生活不是一道數學題。但我們如果能從數學學習中感悟到一些生活之道，何嘗不是一種幸福呢。數學之道也是生活之道，願數學的春天早點來到
2013、3、6
小學數學各年級學習方法
一年級的知識點及重難點 一 數與計算 1 20以內數的認識。加法和減法。數數。數的組成 順序 大小 讀法和寫法。加法和減法。連加 連減和加減混合式題 2 100以內數的認識。加法和減法。數數。個位 十位。數的順序 大小 讀法和寫法。兩位數加 減整十數和兩位數加 減一位數的口算。兩步計算的加減式題。二...
華師大初中科學各年級知識綱要
第3章陽光 第4章土壤 不考 第5章生態系統 第6章動物和人的生殖與發育 第7章植物和微生物的生殖與發育 綜合來說這一學期在中考中多佔比例不多，後面三至七章基本以理解記憶為主。八年級上 第1章運動和力 這一章知識點銜接後兩單元，學生剛開始接觸物理知識，理解應用出現一定難度，所以本章的掌握程度影響學生...
北師大版初中數學各年級知識點彙總
七年級上冊 第一章豐富的圖形世界 1.2.3.球體 由球面圍成的 球面是曲面 4.幾何圖形是由點 線 面構成的。幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面 面與面相交得到線 線與線相交得到點。5.稜 在稜柱中，任何相鄰兩個面的交線都叫做稜。6.側稜 相鄰兩個側面的...