黑龍江省雞西市第十九中學孫長卿
人教a版高中《數學》教科書選修2－1中71頁中有一道例題6（選修1－1中56頁例5），它是涉及直線與圓錐曲線位置關係判定的問題，此題的解法中在由方程組變形為一元方程時極易令學生產生誤判，本文欲通過對此誤判的更正，及其對我們解此類直線與圓錐曲線位置關係綜合問題的啟示做一**。
例已知拋物線的方程為，直線l過定點p（－2,1），斜率為k。k為何值時，直線l與拋物線：只有乙個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？
以下是教材中的分析及解法。
分析：只要討論直線l與拋物線的方程組成的方程組解的情況，進而利用判別式的符號來判定位置關係。
解：由題意，設直線l的方程為
y-1=k(x+2)
由方程組
y-1=k(x+2) ⑴
可得(1) 當k=0時，由方程①得
y=1把y=1代入，得
x=這時，直線l與拋物線只有乙個公共點（，1）
（2）k0時，方程①的判別式為
由，即解得 k=1，或
於是，當k=1，或時，方程①只有乙個解，從而方程組（☆）只有乙個解。這時，直線l與拋物線只有乙個公共點。
由,即 ，
解得1＜k＜，
於是，當-1＜k＜，且k≠0時，方程①有兩個解，從而方程組（☆）有兩個解。這時，直線l與拋物線有兩個公共點。
由,即解得
k＜-1，或k＞.
於是，當k＜-1，或k＞時，方程①沒有實數解，從而方程組（☆）沒有解。這時，直線l與拋物線沒有公共點。
綜上，我們可得
當k=-1，或k=1，或時，直線l與拋物線只有乙個公共點；
當-1＜k＜，且k≠0時，直線l與拋物線有兩個公共點；
當k＜-1，或k＞時，直線l與拋物線沒有公共點。
問題：解法中是怎樣由方程組（☆）變為關於y的一元方程①的？學生一般會判定得出以下兩種方法，而且方法1會成為首選：
方法1：由方程⑴：y-1=k(x+2)，得，代入方程⑵：去分母化簡整理得到的。
方法2：由方程⑵：，得，代入方程⑴：y-1=k(x+2)化簡整理得到的。
分析：顯然方法2是正確的，而方法1是一種誤判，存在著考慮不周的失誤。
失誤原因：
由方程y-1=k(x+2)變形為時，由於k在分母上不能為零，即當k≠0時才有。以上誤判忽略了「k≠0」這一前提條件，而對再討論「（1）當k=0時，由方程①得y=1」，前後矛盾。
產生此誤判的原因緣於思維定勢，即由二元二次方程組向一元二次方程轉化過程中，常常由一次方程中得出用乙個未知數表示另乙個未知數，後代入二次方程消元，而非反之。其實亦可突破思維定勢調轉方向，由二次方程向一次方程代入消元，這樣則可避免失誤的產生。
若非要按照一次代入二次消元則可有以下修改方案：
方案一：
解：由題意，設直線l的方程為
y-1=k(x+2)
（1）當k=0時，得y=1，把y=1代入，得x=。這時，直線l與拋物線只有乙個公共點（，1）
（2）當k0時，
建立方程組
y-1=k(x+2) ⑴
由方程⑴得代入方程⑵得
方程①的判別式為
以下同上，略。
方案二：
解：據題意，
（1）當k=0時，直線l方程為y=1，把y=1代入，得x=。這時，直線l與拋物線只有乙個公共點（，1）
（2）當k0時，設直線l的方程為
x＝λ(y-1)-2，其中λ= (k0)
由方程組
x＝λ(y-1)-2 ⑴
⑴代入⑵得
又，方程①的判別式為
由，即解得1或λ=2，此時k=1，或
於是，當k=1，或時，方程①只有乙個解，從而方程組（☆）只有乙個解。這時，直線l與拋物線只有乙個公共點。
由,即 ，
解得1，或λ＞2，此時 -1＜k＜且k≠0，
於是，當-1＜k＜，且k≠0時，方程①有兩個解，從而方程組（☆）有兩個解。這時，直線l與拋物線有兩個公共點。
由,即解得 -1＜λ＜2， 此時k＜-1，或k＞.
於是，當k＜-1，或k＞時，方程①沒有實數解，從而方程組（☆）沒有解。這時，直線l與拋物線沒有公共點。綜上同上。
方案三：
解：由題意，設直線l的方程為
y-1=k(x+2)
得方程組
y-1=k(x+2) ⑴
由⑴得y= k(x+2)+1代入⑵得
即(1)當k=0時，由方程①得
x= 又 y=1
這時，直線l與拋物線只有乙個公共點（，1）
（2）k0時，方程①的判別式為
以下同上，略。
啟示：以上不厭其煩地贅述同乙個問題，因為它可以給我們一定的啟示，即是在解此類直線與圓錐曲線位置關係綜合問題時，某些特殊值、特殊位置、特殊直線、特殊點等是值得我們引起特別注意不能忽視的。如成角為、或、直線的斜率為零、1或斜率不存在、弦的中點、圓錐曲線的頂點、焦點、垂直與平行、相切、直線過原點(圓錐曲線的頂點、焦點)、直線與拋物線對稱軸平行、直線與雙曲線漸近線平行等等情形，往往這些「特殊」都能使得問題成立或者不成立。
甚至是某些最值常常出現在這種特殊情形下，而使「特殊」成為問題的關鍵所在。如上述例題中直線y=1即是在k=0時得到的，雖然其與拋物線只有乙個交點但這個交點並非切點。
例1：已知拋物線，直線l過拋物線的焦點f，且交拋物線於兩點a、b，求證：。
問題證明：
設直線l的方程為，由方程組
⑴由⑴得代入⑵得
由韋達定理得。證畢。
錯因分析：
設直線l的方程為時沒有考慮到斜率k不存在的情形，事實上，當k不存在時，直線l過焦點f且與對稱軸x軸垂直，於是a、b兩點座標分別為a、b，同理有。所以有如下正確證法：
證明一：
（1）當直線l的斜率不存在時，即直線l與x軸垂直，於是得a、b兩點座標分別為a、b，於是有。
（2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，下同上，略。
證明二：設直線l的方程為，由方程組
⑴由⑴代入⑵得
由韋達定理得。證畢。
點評：證明二簡明且考慮全面，為此題最完美證法。
例2： (2023年高考新課標全國2卷理20題)(本小題滿分12分)平面直角座標系xoy中，過橢圓m： (a＞b＞0)右焦點的直線交m於a，b兩點，p為ab的中點，且op的斜率為.
(1)求m的方程；
(2)c，d為m上的兩點，若四邊形acbd的對角線cd⊥ab，求四邊形acbd面積的最大值．
解：(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，
則，，，由此可得.
因為x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.
又由題意知，m的右焦點為(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.
所以m的方程為.
(2)由解得或因此|ab|＝.
由題意可設直線cd的方程為y＝，設c(x3，y3)，d(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
於是x3,4＝.
因為直線cd的斜率為1，所以|cd|＝.
由已知，四邊形acbd的面積.
當n＝0時，s取得最大值，最大值為.所以四邊形acbd面積的最大值為.
點評：最值是在與橢圓相交的平行直線系中，直線過原點時所得的弦長達到最大值時取得。與此題有著驚人相似之處的是2023年高考全國2卷理數21題。
例3：(2023年高考全國2卷理21題)（本小題滿分14分）p、q、m、n四點都在橢圓上，f為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知求四邊形pmqn的面積的最小值和最大值。
解：如圖，由條件知mn和pq是橢圓的兩條弦，相交於焦點f（0，1）且，直線pq、mn中至少有一條存在斜率，不妨設pq的斜率為k，又pq過點f（0，1），故pq方程為y＝kx＋1，又設p、q兩點的座標分別為，聯立方程組得
y＝kx＋1
整理得有，，則，
代入弦長公式得
（i）當時，mn的斜率為，同上可推得
故四邊形面積
令，得因為且s是以u為自變數的增函式，所以當u=2，即時，，又s<2，所以。
（ii）當k=0時，mn為橢圓長軸，，
綜合（i），（ii）知，四邊形pmqn面積的最大值為2，最小值為。
點評：最小值是在斜率為時取得，而最大值的取得是在斜率為零時，均屬於「特殊」時。
附：作者：孫長卿
位址：黑龍江省雞西市第十九中學
郵編：158100
**：13904676110023
郵箱：個人簡介：
孫長卿，男，黨員，中學高階教師，教育碩士學位。曾獲省級教學能手、市級數學學科帶頭人稱號等。多年來不斷撰寫**並發表或獲獎。
本人同意編輯修改，本稿僅投給貴刊。
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