輸油管道設定

輸油管的布置

摘要「輸油管的布置」數學建模的目的是設計最優化的路線，使輸油管線路費用最少，但是不同於普遍的最短路徑問題，該題需要考慮多種情況，例如，城區和郊區費用的不同，採用共用管線和非公用管線**的不同等等。我們基於最短路徑模型，對於題目實際情況進行研究和分析，對三個問題都設計了合適的數學模型做出了相應的解答和處理。

針對問題一：在不考慮附加費用情況下我們運用鏡子反射原理作出了等式。在考慮有共用管道時分了共用管道費用和普通管道費用兩種情況，也分別列出了2元函式。

針對問題二：我們首先運用層次分析法選出了最優評估公司（公司1）。又考慮到城區附加費用遠遠大於鋪設費用，所以我們首先選出了一條最短的城區到城區與鄉村分界線的路線，然後運用問題1的思想列出了乙個等式和2元函式。

等式只需將各個值代入便可求解。2元函式我們運用matlab解出最小值即可。

問題三與問題二思想大致相同（在此不再闡述）只需改變值即可。

關鍵詞：分類討論、對稱法、層次分析、最小值反射

問題的重述

某油田計畫在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建乙個車站，用來運送成品油。由於這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法。

1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設計方案。在方案設計時，若有共用管線，應考慮共

管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。

2. 設計院目前需對一更為複雜的情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中a廠位於郊區（圖中的i區域），b廠位於城區（圖中的ii區域），兩個區域的分界線用圖中的虛線表示。

圖中各字母表示的距離（單位：千公尺）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管線的鋪設費用均為每千公尺7.2萬元。鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程諮詢公司（其中公司一具有甲級資質，公司二和公司三具有乙級資質）進行了估算。

估算結果如下表所示：

請為設計院給出管線布置方案及相應的費用。

3. 在該實際問題中，為進一步節省費用，可以根據煉油廠的生產能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送a廠成品油的每千公尺5.

6萬元，輸送b廠成品油的每千公尺6.0萬元，共用管線費用為每千公尺7.2萬元，拆遷等附加費用同上。

請給出管線最佳布置方案及相應的費用。

符號說明

模型的假設

● 問題一中所有解答不分一二區，即沒有附加費用

● 不考慮車子的來回運油費

● 考慮二區的附加費用遠大於管道的鋪設費用，所以問題二三種的共用管道均不建在二區

問題的分析

第一問我們分為三種情況討論。

● 沒有共用管道的情況，根據對稱點的方法求得最短距離。

● 有共用管道且共用管線費用與非共用管線費用相同的情況，車站e必定建立在cd之間，先求出管道總長，乘以費用，即為建設費用。在實際問題中，代入具體資料，求得最小值。

1.有共用管道且共用管線費用與非共用管線費用不相同的情況，在2的基礎上將共用管道及非共用管道乘以各自的**，即為建設費用。在實際問題中，代入具體資料，求得最小值。

2．第二問我們先用層次分析法從三間公司裡選擇了公司1，在按照第一問得分類討論法在實際問題中給值，求最小費用。

問題的解決

一、1、在沒有共用管道的情形下

如圖所示，做a點關於直線cd的對稱點a'，連線a』b與直線cd的交點e即為車站的建立點。

ae+be=a』b=

2、有共用管道且共用管線費用與非共用管線費用相同的情況，車站e建立在cd之間

及通過共用管道he輸入車站e。

ah= bh=

m=kah+ky+kbh=k[++y]

3.有共用管道且共用管線費用與非共用管線費用不相同的情況

m=kah+ny+kbh=k[+]+ny

二、我們我們把選擇一間公司的準則層所估算的**及資質的比值定義為1:1,得成對比較矩陣根據matlab軟體算出最大特徵值及所對應的特徵向量，分別為lamda=3.000,y_lamda=

根據公司的資質把甲級與乙級分別賦值為2、1，得成對比較矩陣根據matlab軟體算出最大特徵值及所對應的特徵向量，分別為lamda=3.000,y_lamda=

根據**越高越不易接受的消費心理，我們把三間公司所估算的**分別賦值為4、1、5，得成對比較矩陣根據matlab軟體算出最大特徵值及所對應的特徵向量，分別為lamda=3.000,y_lamda=

以上均通過一致性檢驗

即選擇公司1。

1. 沒有共用管道的情況下，由第一問求得：

ae+be=a』b= ，費用m=296.9788萬元

又根據取附加費用的最小值，如圖

求得費用m=7.2(a』q+bq)+21bq=283.9159萬元。故採用如圖所示方案管道。

2.有共用管道且共用管線費用與非共用管線費用相同的情況

費用m=7.2（ah+hq+bq+y）+21bq, 代入資料，根據matlab軟體算出最小值為281.3307萬元。

三、1.當沒有共用管道時，

由第一問可得m=5.6ae+6(qe+bq)+21bq= 251.0428萬元。

2. 當有共用管道且共用管道在一區時，

m=5.6ah+6（qh+bq）+21bq+7.2y代入資料，，根據matlab軟體算出最小值為250.8742萬元。

模型的優缺點

優點：建立的模型簡單易懂，用matlab軟體找到了求二元二次方程最小值的命令，並算出了最小費用給出了對應的方案

運用層次分析法在三家公司中選擇了具有代表性的公司

缺點：模型中有個人主觀因素在裡面，例如，在選擇一間公司時將所估算的**及資質比值定義為1：1

由於附加費用較高，沒有考慮共用管道在二區的情況

參考文獻

1．趙靜但琦數學建模與數學實驗（第三版）。高等教育出版社 2007.6

2．姜啟源謝金星葉俊數學模型（第四版）高等教育出版2010.9

附件：banana=@(x)5.6*sqrt(x(1)^2+(5-x(2))^2)+6*sqrt((15-x(1))^2+(8-x(2))^2)+7.2*x(2);

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115.8742

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x =4.9019 2.1699

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140.3307

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