泰州市高港實驗學校蔣長春
物理規律必須用數學語言來描述，只有數學才能最明確、最簡潔地表達物理思想，能夠認識數學工具在物理發展中的作用也是普通高中物理新課標之一。然而數學不能等價於物理，不能單純地用數學去表述物理問題，而應該注重分析數學結果的物理意義。
一、分析數學結果的物理意義，揭示物理現象的本質原因
在一次練習中，筆者看到學生對一道拋體運動習題的純數學解法。
例1 如圖1所示，小球從傾角為θ的斜面頂端以初速度v0水平丟擲，落在斜面上的b點，不計空氣阻力，重力加速度用g表示，求小球運動過程中離開斜面的最大距離。
解析平拋小球的軌跡方程為
1）傾角為θ的斜線方程為
2）對（1）式求導，有
設拋物線上過點p（x0，y0）的切線平行於斜線，則有
3）由（1）（3）得
根據點到直線的距離公式，可求出
該同學幾乎完美地用純數學的方法解決了這一物理問題，也充分體現了數學工具在解決物理問題時的強大作用，但我們不能忽略引導學生分析該數學結果的物理意義。
從數學結果中我們可以看出，當小球運動至點p（）時離開斜面的距離最大。根據平拋運動的規律不難求出，此時已用時，小球在豎直方向上的分速度，設小球在點p處的速度方向與水平方向的夾角為β，則有，。該結果顯示，小球在p處的速度方向與斜面平行，即此時小球在垂直斜面方向上的分速度為零，這也是小球離開斜面距離最大的本質原因。
通過分析，將平拋運動分解為沿斜面方向和垂直斜面方向的兩個分運動（初速度和重力加速度分解如圖2所示）。顯然，小球在垂直斜面方向上做有返回性的勻減速直線運動，類似於豎直上拋。當小球在垂直斜面方向上的分速度減為零時離開斜面的距離最大，根據運動規律有
通過分析數學結果的物理意義，揭示出小球離開斜面存在最大距離的本質原因。在乙個物理問題用數學工具解決之後，教師應該引導學生繼續思考，對數學結果進行深入細緻的分析，探尋更好、更簡的解法，這樣不僅可以使學生對物理概念和規律的理解更加完整和深刻，而且有利於知識的內化和正向遷移。
二、分析數學結果的物理意義，認識物理過程的發展變化
辯證法認為，任何事物都處於發展變化之中，其發展變化的形式有量變和質變兩種，量變最終導致質變。我們可以通過對數學結果的物理意義進行分析，讓學生認識到物理過程的發展變化。
例2 如圖3所示，質量為m=1kg的物塊，通過輕繩繫在傾角θ=45°的光滑斜面頂端，求當斜面分別以4m/s2、8 m/s2、12 m/s2的加速度水平向右做勻加速直線運動時，輕繩上的拉力各是多大？（重力加速度g取10m/s2）
解析學生中常見的一種解法如下：
由牛頓運動定律，有
將加速度的值4 m/s2、8 m/s2、12 m/s2分別代入，得
顯然，這樣解答是錯誤的，究其原因，是學生沒有重視分析其數學結果的物理意義，僅僅從純數量的關係將三個加速度所對應的狀態看成是同一性質的問題，從而忽略了對物理過程全面的、內在的、本質的認識。數學結果「」顯示要保持物塊在斜面上隨斜面一起以12m/s2的加速度向右做勻加速直線運動，其所受力f的方向必然要垂直斜面向下，顯然斜面不能完成這一「使命」。數學結果顯示加速度的量變導致物塊受力情況的量變，隨著加速度量變的積累達到一定程度（a＞10m/s2），物塊受力情況將產生質變，物塊離開斜面，輕繩與水平方向的夾角隨之改變，此時問題轉化為二力作用下的加速運動了。
通過分析數學結果的物理意義，要引導學生認識到任何物理問題都處於發展變化之中，量變最終會導致質變，應該教育學生用發展的觀點審視物理問題，不可一概而論。
三、分析數學結果的物理意義，體會物理本身的邏輯結構
例3 質量為m的小球用長為l且不可伸長的輕質細繩懸於o點，把小球拉至如圖4所示的位置使細繩呈水平狀態而靜止釋放，重力加速度用g表示。求小球從釋放運動到最低點的過程中重力做功的最大功率。
解析設細繩擺過的角度為θ時小球的速度大小為v，根據機械能守恆和功率計算公式，有
1）2）
由（1）（2）得
因此求重力做功的最大功率，其實就是求函式的最大值。
設sinθ=t，0≤t≤1，則有
對上式求導，有
當，即當
當然求函式的最大值也可將其變形為
根據均值定理求出。
誠然以上借助數學工具的分析是無懈可擊的 ，但物理現象並不是孤立的，描述物理現象的方法也不是單一的，物理有其本身的邏輯結構。數學結果顯示，當小球運動到位置時重力做功的功率最大，重力是恒力，說明此時小球在豎直方向的分速度是最大的，那麼小球在豎直方向的分速度必然有乙個先增大後減小的過程，力是改變物體運動狀態的原因，對小球受力分析，如圖5所示，根據牛頓定律，有
3）由（1）（3）得
，則顯然，在0≤sinθ＜的過程中，tsinθ＜mg，小球在豎直方向上做加速運動，豎直方向上的分速度逐漸增大；在＜sinθ≤1的過程中，tsinθ＞mg，小球
在豎直方向上做減速運動，豎直方向上的分速度逐漸減小；在時，小球在豎直方向上的分速度達到最大，此時重力做功的功率當然最大了。
通過分析數學結果的物理意義，不僅可以讓學生理解力與運動之間的本質聯絡，體會物理本身的邏輯結構，而且培養和訓練了學生的發散性思維能力，提高分析問題和解決問題的靈活性和創造性。
總之，數學是學習和研究物理的重要工具，運用數學工具來解決物理問題是對學生重要能力的要求，但物理不是數學，物理更重要的是物理事實、物理本質和物理關係。在使用數學工具分析和解決物理問題的同時應該重視引導學生分析數學結果的物理意義，從而促使學生在知識上相互遷移，在方法上相互借鑑，這樣不僅拓寬了學生的知識視野和能力視野，而且培養和提高了學生的綜合能力。
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