第三章圖形的平移與旋轉
本章教材分析
本章立足於學生已有的生活常識，從經常見到的一些實際的平移、旋轉現象入手，直觀地認識平移和旋轉，並動手做一些平移和旋轉的實驗，從中體驗平移、旋轉過程中物體的形狀、大小沒有發生變化，進一步觀察圖形在平移、旋轉運動與變換過程中有關點、線段和角的變化現象，從而得出一般的性質。
通過對平移、旋轉在實際中的例項觀察、認真思索，分析歸納出平移和旋轉的一般性質，即：在變換過程中圖形的形狀和大小都沒改變，只是位置發生了改變，並探索出圖形變化前後的位置之間的對應點，對應線段之間所具有的一般性質和規律，從而提高了同學們對生活的觀察能力，和將實際問題抽象成數學問題的能力。
根據已有的平移、旋轉知識，課本設計了圖形是怎樣變化過來的一節，讓大家更進一步觀察平移、旋轉，感悟變化過程中，為下一節中簡單的圖形設計打下了良好的基礎。
通過自己動手設計圖案，並與同學交流的活動，加深對平移、旋轉的理解，提高學生的動手操作能力和審美的認識，讓學生體驗到成功的樂趣。
3．1 生活中的平移
一、學習目標定位
1．經歷觀察、分析、操作、欣賞以及抽象、概括等過程，探索圖形平移的基本性質，進一步發慌空間觀察，增強審美意識。
2．通過具體例項認識平移，理解平移的基本內涵，理解平移的基本性質。
二、重點難點解析
重點：平移的基本內涵和平移的基本性質。
難點：平移特徵的探索及理解。
三、教學過程
1．引入
列舉「傳送帶上的電視機的形狀、大小是否發生了改變」、「手扶電梯上的人」、「筆直的鐵道上行駛的火車」、「上下樓的電梯」等與平移有關的現象，可見平移在生活中無處不在，為我們的生活帶來很大幫助。借助實物演示平移。
上述這些現象所具有的共同特徵：沿某一方向移動一定距離，形狀、大小不改變。
2．總結得出平移的定義：在平面內，將乙個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。
分析平移定義，**「沿某一方向」的意義，其實質是沿直線運動。
讓學生列舉生活中的平移例項，對理解有偏差的加以糾正。
3．平移的性質
根據定義得到：經過平移，對應點所連的線段平行且相等；對應線段平行且相等，對應角相等。
如圖：p68 點a、b、c、d分別平移到了點e、f、g、h，a與e，b與f，c與g，d與h分別是一對對應點；ab與ef是一對對應線段；∠bad與∠feh是一對對應角。
4．例題講解
例1 如圖所示，△abe沿射線xy方向平移一定距離後成為△cdf。找出圖中平行且相等的線段和全等的三角形。
變式練習：如圖所示，∠def是∠abc經過平移得到的，∠abc＝33o，求∠def的度數。
2．如圖所示，將∠abc沿射線xy平移至∠a／b／c／，且bc與a／b／交點為d，圖中有哪些相等的角？
3.運用所過的軸對稱及圖形的平移知識設計一幅圖案，或畫出生活中所見到的圖案。
4．如圖所示有兩個村莊a和b被一條河隔開，現要架一座橋（橋與河岸垂直），請你設計一種方案，使由a到b的路程最短。
3.2 簡單的平移作圖
一、學習目標定位
1．能夠按要求作出簡單平面圖形平移後的圖形。
2．能夠探索圖形之間的平移關係。
二、重點難點解析
重點：按給定要求作出簡單平面圖形平移後的圖形以及探索圖形之間的平移關係。
難點：尋找較複雜圖案中「基本圖案」。
三、教學過程
第一課時
1．複習引入：
提問：1、什麼叫平移？2、平移有哪些性質？3、決定平移的兩大要素是什麼？
2．**新知：
提出問題：（課件演示）經過平移，線段ab的端點移到了點d，你能作出線段ab平移後的圖形嗎？
adbe
圖表 1
引導學生歸納總結作圖的方法。
練習：p74 1
3．例題講解
例1：如圖，經過平移，△abc的頂點a移到了點d，請作出平移後的三角形。
分析：因為a與d是對應點，而平移的對應點的連線段平行且相等所以平移方向——射線ad，平移距離——線段ad的長，
作法：1、分別過點b、c沿ad方向作線段be、cf，使它們與ad平行且相等
2、順次鏈結d、e、f
則△def即為所求。
練習：p84 2
例2先討論，再講解。將字母a按箭頭所指的方向平移3厘公尺，作出平移後的圖形。
練習p84 3
補充：如圖，已知rt△abc中，∠c=90°，bc=4，ac=4，現將△abc沿cb方向平移到△a』b』c』的位置。
（1）若平移距離為3，求△abc與△a』b』c』的重疊部分的面積；
（2）若平移距離為x（ ），求△abc與△a』b』c』的重疊部分的面積y，並寫出y與x的關係式。
解：（1）由題意cc』=3，bb』=3，所以bc』=1，
又由題意易得重疊部分是乙個等腰直角三角形，所以其面積為 ；
（2）說明：這裡應用了平移的定義及對應線段平行的性質。
第2課時
創設情景，**新知：
（演示課件）：教材上小狗的圖案。提問：
（1）這個圖案有什麼特點？（2）它可以通過什麼「基本圖案」，經過怎樣的平移而形成？（3）在平移過程中，「基本圖案」的大小、形狀、位置是否發生了變化？
看磁性黑板，展示教材64頁圖3-9，提問：左圖是乙個正六邊形，它經過怎樣的平移能得到右圖？誰到黑板做做看？
展示教材64頁3-10，提問：左圖是一種「工」字形磚，右圖是怎樣通過左圖得到的？
（演示課件）教材65頁圖3-11，提問：這個圖可以看做是什麼「基本圖案」通過平移得到的？
3.3 生活中的旋轉
一、學習目標定位
1．通過對生活中與旋轉現象有關的圖形進行觀察、分析，以及動手操作、畫圖等過程，掌握有關的畫圖技能。
2．通過具體例項認識旋轉，理解旋轉前後兩個圖形對應點到旋轉中心距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等的性質，發展初步的審美能力。
二、重點難點解析
重點：對生活中的旋轉現象作數學上的分析研究，旋轉的定義，旋轉的基本性質。
難點：對旋轉現象的分析研究，對旋轉性質的探索。
三、教學過程
(一)巧設情景問題，引入課題
日常生活中，我們經常見到以下情景(出示圖示：鐘錶、汽車方向盤、轆轤或電腦演示：鐘錶指標的轉動、汽車方向盤的轉動、轆轤打水的情景)。
（1)上面情景中的轉動現象，有什麼共同特徵？(2)鐘錶的指標、鐘擺在轉動過程中，其形狀、大小、位置是否發生改變？汽車方向盤的轉動呢？
1.在這些轉動的現象中，它們都是繞著乙個點轉動的。
2.每個物體的轉動都是向同乙個方向轉動。
3.鐘錶的指標、鐘擺在轉動過程中，它的形狀、大小沒有變化，只是它的位置有所改變.
4.汽車的方向盤在轉動過程中，同樣它的形狀、大小沒有改變，方向盤上的每點的位置所變化。同學們觀察得很仔細，我們把這樣的轉動叫旋轉(circumrotate)，這節課我們就來**生活中的旋轉.
（二）講授新課
1．在數學中，如何定義旋轉呢？在平面內，將乙個圖形繞著乙個定點沿某個方向轉動乙個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(circumrotate).這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.
注意：「將乙個圖形繞乙個定點沿某個方向轉動乙個角度」意味著圖形上的每個點同時都按相同的方式轉動相同的角度.在物體繞著乙個定點轉動時，它的形狀和大小不變。
因此，旋轉具有不改變圖形的大小和形狀的特徵。
2．由旋轉的定義總結決定旋轉的三要素：
旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度。
對應練習：p80 隨堂練習 1
議一議：（課本67頁）答：(1)旋轉中心是o點，旋轉角是∠aod.旋轉角還可以是∠boe.
(2)四邊形aobc繞o點旋轉到四邊形doef的位置.這時點a旋轉到點d的位置，點b旋轉到點e的位置.
(3)可以把oa看作鐘錶的指標，它oa的位置旋轉到od的位置，指標的長短、形狀沒有變化，所以oa與od是相等的.同樣，線段ob與oe是相等的.
(4)因為四邊形aobc繞o點旋轉到四邊形doef的位置，在旋轉的過程中，圖形上的每個點同時都按相同的方向旋轉相同的角度，所以∠aod與∠boe是相等的.
(4)也可以這樣理解：因為四邊形aobc繞o點旋轉到四邊形doef的位置，所以∠aob與∠doe是相等的，又因為∠bod是公共角，所以，∠aod與∠boe是相等的.
看上圖，四邊形doef是由四邊形aobc繞o點旋轉得到的，經過旋轉，點a移動到點d的位置，點b移動到點e的位置，點c移動到點f的位置，則點a與點d、點b與點e、點c與點f就是對應點.從剛才大家得出的結論中，能否總結出旋轉的性質呢？
答：因為o是旋轉中心，點a與點d是對應點，點b與點e是對應點，且oa=od，ob=oe，所以可以知道：對應點與旋轉中心所連的線段的長度是相等的.
因為點a與點d、點b與點e是對應點，且∠aod=∠boe，所以由此可以知道：對應點與旋轉中心的連線所成的角是互相相等的.
由此我們得到了
3．旋轉角的定義：任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角。
4．旋轉的基本性質：經過旋轉，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的旋轉角相等.
5．例題講解：
［例1］
分析：經演示(鐘錶實物或教具)可以知道，分針是繞著表面盤的中心位置，即鐘錶的軸心旋轉的，它旋轉一周時的度數是360°,一周需要60分，因此每分鐘分針所轉過的度數是6°，這樣20分時，分針逆轉的角度即可求出。
補充練習：
1．2點整、7點整，時針與分針所成的角分別為幾度？
析：點整，時針經過，與分針的夾角是時，夾角為，時為，2點時，；7點時，
2．3點12分，3點40分時，時針與分針所成角各為多大？
析：點分時，兩針所成的角為。其中，時針每小時轉動，時針每分鐘轉動。
（三）活動與**
1.分析圖中的旋轉現象.
過程：讓學生畫圖、找規律，也可讓他們通過剪下，找到旋轉規律.
結果：旋轉現象為：
整個圖形可以看做是圖形的八分之一(一組大小不等的三個「角」)繞中心位置，按照同一方向連續旋轉45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前後的圖形共同組成的.
整個圖形也可以看做是圖形的四分之一(兩組相鄰的「角」)繞中心位置連續旋轉90°、180°、270°前後的圖形共同組成的.
整個圖形還可以看做是圖形的二分之一(四組相鄰的「角」)繞中心位置旋轉180°前後的圖形共同組成的.
2.圖中是否存在這樣的兩個三角形，其中乙個是另乙個通過旋轉得到的？
過程：同樣讓學生在畫圖過程中體會圖形中每個三角形之間的關係；或讓學生仔細觀察圖形，分析圖形，找出關係.
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