動能定理及其應用

學案正標題

一、考綱要求

1.掌握動能的概念，知道動能是標量，會求動能的變化量.

2.掌握動能定理，能運用動能定理解答實際問題．

二、知識梳理

1.動能

（1）定義：物體由於運動而具有的能．

（2）公式：ek＝，式中v為瞬時速度．

（3）矢標性：動能是標量，沒有負值，動能與速度的方向無關．

（4）動能是狀態量，動能的變化是過程量，等於末動能減初動能，即δek＝ek2-ek1．

2.動能定理

（1）內容：力在乙個過程中對物體所做的功，等於物體在這個過程中動能的變化．

（2）表示式：w＝＝ek2－ek1.

（3）物理意義：合外力的功是物體動能變化的量度．

（4）適用條件

①動能定理既適用於直線運動，也適用於曲線運動．

②既適用於恒力做功，也適用於變力做功．

③力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以分階段作用.

三、要點精析

1.動能定理的理解

（1）動能定理公式中等號表明了合外力做功與物體動能的變化具有等量代換關係．合外力的功是引起物體動能變化的原因．

（2）動能定理中涉及的物理量有f、l、m、v、w、ek等，在處理含有上述物理量的問題時，優先考慮使用動能定理．

（3）若過程包含了幾個運動性質不同的分過程，既可以分段考慮，也可以整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據不同的情況分別對待求出總功，計算時要把各力的功連同正負號一同代入公式．

2.應用動能定理三點注意

（1）動能定理說明了合力對物體所做的總功和動能變化間的一種因果關係和數量關係，不可理解為功轉變成了物體的動能．

（2）動能定理中的位移和速度必須是相對於同乙個參考係的，一般以地面或相對地面靜止的物體為參考係．

（3）動能定理的表示式是乙個標量式，不能在某方向上應用動能定理．

3.應用動能定理解題的步驟

（1）確定研究物件和研究過程；

（2）分析研究物件的受力情況和各力的做功情況；

（3）寫出該過程中合外力做的功，或分別寫出各個力做的功(注意功的正負)，如果研究過程中物體受力情況有變化，要分別寫出該力在各個階段做的功；

（4）寫出物體的初、末動能；

（5）按照動能定理列式求解．

4.應用動能定理解決多過程問題的技巧

（1）運用動能定理解決問題時，選擇合適的研究過程能使問題得以簡化．當物體的運動過程包含幾個運動性質不同的子過程時，可以選擇乙個、幾個或全部子過程作為研究過程．

（2）當選擇全部子過程作為研究過程，涉及重力、大小恆定的阻力或摩擦力做功時，要注意運用它們的功能特點：①重力的功取決於物體的初、末位置，與路徑無關；②大小恆定的阻力或摩擦力的功等於力的大小與路程的乘積．

5.分析動能定理與圖象結合問題「三步走」

四、典型例題

1.如圖所示，一塊長木板b放在光滑的水平面上，在b上放一物體a，現以恆定的外力f拉b，由於a、b間摩擦力的作用，a將在b上滑動，以地面為參考係，a、b都向前移動一段距離．在此過程中 ( )

a．外力f做的功等於a和b動能的增量

b．b對a的摩擦力所做的功大於a的動能增量

c．a對b的摩擦力所做的功等於b對a的摩擦力所做的功

d．外力f對b做的功等於b的動能的增量與b克服摩擦力所做的功之和

【答案】d

【解析】a物體所受的合外力等於b對a的摩擦力，對a物體運用動能定理，則有b對a的摩擦力所做的功等於a的動能的增量，b錯．a對b的摩擦力與b對a的摩擦力是一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由於a在b上滑動，a、b對地的位移不等，故二者做功不等，c錯．對b應用動能定理，wf－wf＝δekb，wf＝δekb＋wf，即外力f對b做的功等於b的動能的增量與b克服摩擦力所做的功之和，d對．由上述討論知b克服摩擦力所做的功與a的動能增量(等於b對a的摩擦力所做的功)不等，故a錯．

2.如圖所示，在豎直平面內有一半徑為r的圓弧軌道，半徑oa水平、ob豎直，乙個質量為m的小球自a的正上方p點由靜止開始自由下落，小球沿軌道到達最高點b時恰好對軌道沒有壓力．已知ap＝2r，重力加速度為g，則小球從p到b的運動過程中 ( )

【答案】d

【解析】小球到達b點時，恰好對軌道沒有壓力，故只受重力作用，根據mg＝得，小球在b點的速度v＝.小球從p點到b點的過程中，重力做功w＝mgr，故選項a錯誤；減少的機械能δe減＝mgr－mv2＝mgr，故選項b錯誤；合外力做功w合＝mv2＝mgr，故選項c錯誤；根據動能定理得，mgr－wf＝mv2－0，所以wf＝mgr－mv2＝mgr，故選項d正確．

3.靜置於水平地面上的物體質量為0.3kg，某時刻物體在豎直拉力作用下開始運動，若取地面為零勢能面，物體的機械能e和物體上公升的高度h之間的關係如圖所示，不計空氣阻力，g＝10 m/s2.

下列說法正確的是 ( )

【答案】c

【解析】e—h圖線的斜率表示除重力之外的其他力，在本題中即為豎直拉力，物體在oa段所受的拉力7.5 n，所受的合外力為4.5 n，選項a錯誤；物體在ab段所受拉力為3 n，選項b錯誤；物體在h＝2 m時，機械能為15 j，重力勢能為6 j，因而動能為9 j，選項c正確．由於物體在ab段受的合外力為0，做勻速運動，故h＝6 m時的速度

與h＝2 m時的速度相等，而h＝2 m時的速度為2m/s，選項d錯誤．

4.(多選)利用太陽能驅動的小車，若小車在平直的水泥路上從靜止開始加速行駛，經過時間t前進距離s，速度達到最大值vm，在這一過程中電動機的功率恒為p，小車所受阻力恒為f，那麼這段時間內( )

【答案】bd

【解析】對小車由牛頓第二定律得－f＝ma，由於小車的速度逐漸增大，故小車加速度逐漸減小，小車做加速度逐漸減小的加速運動，a錯誤；電動機對小車所做的功w＝pt，b正確；對小車由動能定理得w－fs＝，解得w＝fs＋，c錯誤，d正確．

5.(2015·山東濟南一中檢測)(多選)放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內其速度與時間的圖象和該拉力的功率與時間的圖象分別如圖甲、乙所示．下列說法正確的是( )

【答案】abc

【解析】v－t圖象中圖線與座標軸圍成的面積表示位移，s6＝30 m，a正確．p－t圖象中圖線與座標軸圍成的面積表示功，w6＝70 j，b正確．由動能定理知，2～6 s內合外力不做功，c正確.2～6 s內物體做勻速運動，有

f＝ff，p＝fv，得ff＝n，d錯誤．

6.質量為10 kg的物體，在變力f作用下沿x軸做直線運動，力隨位移x的變化情況如圖所示．物體在x＝0處速度為1 m/s，一切摩擦不計，則物體運動到x＝16 m處時，速度大小為( )

【答案】b

【解析】f－x圖象與橫軸所圍的面積表示功，由題圖可知，外力做的總功w＝fx＝40 j，根據動能定理w＝－，得v＝3 m/s.選項b正確．

7.物體在恆定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直線滑行直到停止．以a、ek、x和t分別表示物體運動的加速度大小、動能、位移的大小和運動的時間，則以下各圖象中，能正確反映這一過程的是( )

【答案】c

【解析】物體在恆定阻力作用下運動，其加速度隨時間不變，隨位移不變，選項a、b錯誤；由動能定理，－ffx＝ek－ek0，解得ek＝ek0－ffx，選項c正確；ek＝ek0－ffx＝ek0－ff(v0t－at2)，ek與時間t不成線性關係，d錯誤．

8.如圖所示，光滑水平平台上有乙個質量為m的物塊，站在地面上的人用跨過定滑輪的繩子向右拉動物塊，不計繩和滑輪的質量及滑輪的摩擦，且平台邊緣離人手作用點豎直高度始終為h.當人以速度v從平台的邊緣處向右勻速前進制移x時，則( )

【答案】b

【解析】設繩子與水平方向的夾角為θ，則物塊運動的速度v物＝vcos θ，而cos θ＝，故v物＝＝，可見物塊的速度隨x的增大而增大，a、d均錯誤；人對物塊的拉力為變力，變力的功可應用動能定理求解，即w＝＝，b正確，c錯誤．

9.用水平力f拉一物體，使物體在水平地面上由靜止開始做勻加速直線運動，t1時刻撤去拉力f，物體做勻減速直線運動，到t2時刻停止，其速度—時間圖象如圖3所示，且α＞β.若拉力f做的功為w1，平均功率為p1；物體克服摩擦阻力ff做的功為w2，平均功率為p2，則下列選項正確的是( )

【答案】b

【解析】整個運動過程中，根據動能定理有w1－w2＝0，所以w1＝w2，又p1＝，p2＝，所以p1＞p2；根據牛頓第二定律，施加拉力f時，加速度大小a1＝，撤去拉力f後加速度大小a2＝，v－t圖象斜率的絕對值表示加速度的大小，根據題圖可知a1＞a2，即＞可得f＞2ff，綜上分析，本題答案為b.

10.如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上有一輕質彈簧，其一端固定在斜面下端的擋板上，另一端與質量為m的物體接觸(未連線)，物體靜止時彈簧被壓縮了x0，現用力f緩慢沿斜面向下推動物體，使彈簧在彈性限度內再被壓縮2x0後保持物體靜止，然後撤去f，物體沿斜面向上運動的最大距離為4.5x0，則在撤去f後到物體上公升到最高點的過程中( )

【答案】cd

【解析】在運動過程中，彈簧的彈性勢能轉化為物體的動能與重力勢能，選項a錯誤；根據功能關係知，選項b錯誤，選項c正確；物體在彈簧壓縮量為x0處速度最大，這時物體從靜止開始沿斜面向上運動了2x0，克服重力做功為2mgx0sin θ，選項d正確．

動能定理及其應用

6 2動能定理及其應用

動能和動能定理

動能定理練習

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