動能及動能定理典型例題剖析

動能和動能定理、重力勢能·典型例題剖析

例1　乙個物體從斜面上高h處由靜止滑下並緊接著在水平面上滑行一段距離後停止，量得停止處對開始運動處的水平距離為s，如圖8－27，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，並設斜面與水平面對物體的摩擦因數相同．求摩擦因數μ．

[思路點撥]　以物體為研究物件，它從靜止開始運動，最後又靜止在平面上，考查全過程中物體的動能沒有變化，即δek=0，因此可以根據全過程中各力的合功與物體動能的變化上找出聯絡．

[解題過程]　設該面傾角為α，斜坡長為l，則物體沿斜面下滑時，

物體在平面上滑行時僅有摩擦力做功，設平面上滑行距離為s2，則

對物體在全過程中應用動能定理：σw=δek．

mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgs2=0

得h－μs1－μs2=0．

式中s1為斜面底端與物體初位置間的水平距離．故

[小結]　本題中物體的滑行明顯地可分為斜面與平面兩個階段，而且運動性質也顯然分別為勻加速運動和勻減速運動．依據各階段中動力學和運動學關係也可求解本題．比較上述兩種研究問題的方法，不難顯現動能定理解題的優越性．用動能定理解題，只需抓住始、末兩狀態動能變化，不必追究從始至末的過程中運動的細節，因此不僅適用於中間過程為勻變速的，同樣適用於中間過程是變加速的．不僅適用於恒力作用下的問題，同樣適用於變力作用的問題．

例2 質量為500t的機車以恆定的功率由靜止出發，經5min行駛2.25km，速度達到最大值54km/h，設阻力恆定且取g=10m/s2．求：(1)機車的功率p=？

(2)機車的速度為36km/h時機車的加速度a=？

[思路點撥]　因為機車的功率恆定，由公式p=fv可知隨著速度的增加，機車的牽引力必定逐漸減小，機車做變加速運動，雖然牽引力是變力，但由w=p·t可求出牽引力做功，由動能定理結合p=f·vm，可

求出36km/h時的牽引力，再根據牛頓第二定律求出機車的加速度a．

[解題過程]　 (1)以機車為研究物件，機車從靜止出發至達速度最大值過程，根據σw=δek，有

當機車達到最大速度時，f=f．所以

當機車速度v=36km/h時機車的牽引力

根據σf=ma可得機車v=36km/h時的加速度

[小結]　機車以恆定功率起動，直到最大速度，屬於變力做功的問

由於速度增大導致加速度減小，汽車做加速度逐漸減小而速度逐漸變大的變加速運動．此類問題應用牛頓第二定律求解，在中學物理範圍內是無法求解的．但應用動能定理求解變力做功，進而求解相關物理量是一種簡捷優化的解題思路與方法．

例3 一輛車通過一根跨過定滑輪的繩pq提公升井中質量為m的物體，如圖8－28所示：繩的p端拴在車後的掛鉤上，q端拴在物體上，設繩的總長不變；繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計．開始時，車在a點，左右兩側繩都已繃緊並且是豎直的，左側繩繩長為h．提公升時，車加速向左運動，沿水平方向從a經過b駛向c．設a到b的距離也為h，車經過b點時的速度為vb．求車由a移到b的過程中，繩q端的拉力對物體做的功？

[思路點撥]　汽車從a到b把物體提公升的過程中，物體只受到拉力和重力的作用，根據物體速度的變化和上公升的高度，特別是汽車運動速度vb與物體上公升過程中的瞬時速度關係，應用動能定理即可求解．

[解題過程]　以物體為研究物件，開始動能ek1=0，隨著車的加速拖動，重物上公升，同時速度在不斷增加．當車運動至b點時，左邊的繩與水平面所成角θ=45°，設物體已從井底上公升高度h，此時物體速度為vq，即為收繩的速度，它等於車速沿繩子方向的乙個分量，如圖8－29

[小結]　此題需明確：速度分解跟力的分解相似，兩個分速度方向應根據運動的實際效果確定．車子向左運動時，繩端(p)除了有沿繩子方向的分運動外(每一瞬間繩均處於張緊的狀態)，還參與了繞定滑輪o的轉動分運動(繩與豎直方向的夾角不斷變化)，因此還應該有乙個繞o點轉動的分速度，這個分速度垂直於繩長的方向．所以車子運動到b點時的速度分解如圖8－29所示，有vq=vb1=vbcosθ=vbcos45°．

例4 在光滑水平面上有一靜止的物體，現以水平恒力甲推這一物體，作用一段時間後，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體．當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，物體恰好回到原處，此時物體的動能為32j，則在整個過程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等於多少？

[思路點撥]　由題意：物體先做勻加速運動，後做勻減速運動回到原處．整個過程中的位移為零，根據牛頓第二定律和運動學公式，即可確定兩個力的大小關係，然後根據全過程中兩個力做功和動能的變化即可得解．

[解題過程]　物體從靜止受水平恒力f甲作用，做勻加速運動，經過一段時間t後的速度為

經時間t後回到原處，前後兩段時間內的位移大小相等，方向相反，所以

因此f乙=3f甲．

設在f甲作用下物體的位移為s，對全過程應用動能定理f甲·s＋f乙·s=δek，代入f乙=3f甲，f甲·s＋3f甲·s=δek，所以恒力甲和乙做的功分別為

[小結]　本題屬多階段物理過程求功問題，運動往復性的不同階段有不同的恒力作用，運用功能定理從整體上考證功能轉換比從力和運動關係去研究要簡便．當然此題也可根據兩個力作用時間相同、兩個物理過程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出兩者末速度的關係求解；也可以利用v－t圖線更直觀地得到啟發，根據圖線上下方與t軸間的面積相等求兩段加速度之比，進而求解．

例5 如圖8－30所示，長為l，質量為m1的木板a置於光滑水平面上，在a板上表面左端有一質量為m2的物塊b，b與a的摩擦因數為μ，a和b一起以相同的速度v向右運動，在a與豎直牆壁碰撞過程中無機械能損失，要使b一直不從a上掉下來，v必須滿足什麼條件(用m1、m2、l、μ表示)？倘若v0已知，木板b的長度l應滿足什麼條件(用m1、m2、v0、μ表示)？

[思路點撥]　 a和牆壁碰撞後，a以大小為v的速度向左運動，b仍以原速向右運動．以後的運動過程有三種可能：(1)若m1＞m2，則m1和m2最後以某一共同速度向左運動；(2)若m1=m2，則a、b最後都停在水平面上，但不可能與牆壁發生第二次碰撞；(3)若m1＜m2，則a將多次和牆壁碰撞、最後停在靠近牆壁處．

[解題過程]　若m1＞m2，碰撞後的總動量方向向左，以向左為正方向，系統δp=0，

m1v－m2v=(m1＋m2)v′，

若相對靜止時b剛好在a板右端，則系統總機械能損失應為μm2gl，則功能關係為

若v0已知，則板長l應滿足

若m1=m2，碰撞後系統總動量為零，最後都靜止在水平面上，設靜止時b在a的右端，則

若m1＜m2，則a與牆壁將發生多次碰撞，每次碰撞後總動量方向都向右，而b相對於a始終向右運動，設最後a靜止在靠近牆壁處，b靜止在a的右端，則有

[小結]　在有些用字母表示已知物理量的題目中，物理過程往往隨著已知量的不同取值範圍而改變．對於這類題目，通常是將物理量的取值分成幾個範圍來討論，分別在各個範圍內求解．如本題中，由於m1和m2的大小關係沒有確定，在解題時必須對可能發生的物理過程進行討論，分別得出結果．

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動能定理經典例題

動能和動能定理

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