小學數學中把求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數量關係】第一雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）
假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）
第二雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然後以兔換雞；如果先假設都是兔，然後以雞換兔。這類問題也叫置換問題。
通過先假設，再置換，使問題得到解決。
例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠裡。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？
解假設35只全為兔，則雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數＝35－23＝12（只）
也可以先假設35只全為雞，則兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
解此題實際上是改頭換面的「雞兔同籠」問題。「每畝菠菜施肥（1÷2）千克」與「每只雞有兩個腳」相對應，「每畝白菜施肥（3÷5）千克」與「每只兔有4隻腳」相對應，「16畝」與「雞兔總數」相對應，「9千克」與「雞兔總腳數」相對應。假設16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
例3 ***用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？
解此題可以變通為「雞兔同籠」問題。假設45本全都是日記本，則有
作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數＝45－15＝30（本）
答：作業本有15本，日記本有30本。
例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？
解假設100只全都是雞，則有
兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？
解假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以「小」換「大」，乙個小和尚換掉乙個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚 （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
【含義】 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。
【數量關係】 （1）方陣每邊人數與四周人數的關係：
四周人數＝（每邊人數－1）×4
每邊人數＝四周人數÷4＋1
（2）方陣總人數的求法：
實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數
－（內邊人數）空心方陣：總人數＝（外邊人數）
內邊人數＝外邊人數－層數×2
（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：
總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4
【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。
例1 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？
解 22×22＝484（人） 答：參加體操表演的同學一共有484人。
例2 有乙個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。
解 ＝84（人）－（10－3×2）10 答：全方陣84人。
例3 有一隊學生，排成乙個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？
解 （1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊學生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多餘4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？
解 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）
（2）縱橫增加一層後正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有乙個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？
解第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個三角形樹林一共有15棵樹。
【含義】 這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。
【數量關係】利潤＝售價－進貨價利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%
售價＝進貨價×（1＋利潤率）
虧損＝進貨價－售價虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%
【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。
例1 某商品的平均**在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的**變動情況如何？
解設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原價下降了1%。
例2 某服裝店因搬遷，店內商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那麼該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？
解要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出該店是盈利的，盈利率為 （52－50）÷50＝4%
答：該店是盈利的，盈利率是4%。
例3 成本0.25元的作業本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價**，當銷售出80%後，剩下的作業本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業本**時按定價打了多少折扣？
解問題是要計算剩下的作業本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。
剩下的作業本售出後的盈利額等於實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作業本每冊盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作業本是按原定價的八折**的。
例4 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。
解設乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 1－10%＝0.9
甲店定價為 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定價為 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得乙店進貨價為 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定價為 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定價是240元。
【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息佔本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息佔本金的百分數。
【數量關係】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數×100%
利息＝本金×存款年（月）數×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數］
【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。
例1 李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期後連本帶利共取出1488元，求存款期多長。
解因為存款期內的總利息是（1488－1200）元，
所以總利率為 （1488－1200）÷1200 又因為已知月利率，
所以存款月數為 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大強的存款期是30月即兩年半。
例2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.
28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期後連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年後二人同時取出，那麼，誰的收益多？
多多少元？
解甲的總利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的總利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。
【含義】 在生產和生活中，我們經常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關係。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解後的混合物叫溶液。
溶質的量在溶液的量中所佔的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。
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