第七講：三角形
三角形、三角形的全等和等腰三角形是幾何知識的基礎，也是中考的重點知識，在中考中的出現形式也比較新穎，有探索題、開放題，分值一般在6-9分左右，有時還會與相似相結合。
知識梳理
知識點1：三角形
【典例精析】
例1：如圖所示，圖中三角形的個數共有（ ）
a．1個 b．2個 c．3 個 d．4個
思路點撥：.圖中的三角形有△abd, △acdabc，注意若bc邊上有多個點，a點與這些點連線後，用分類方法來尋找三角形則簡單些.答案：c．
例2：下列長度的三條線段能組成三角形的是( )
a．1cm， 2cm， 5cm b．4cm， 8cm， 12cm
c．5cm， 5cm， 15cm d．6cm，8cm， 9cm
思路點撥：三角形的兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊. 答案：d．
例3、在△abc中，ac＝5，中線ad＝7，則ab邊的取值範圍是（ ）
a、1＜ab＜29 b、4＜ab＜24 c、5＜ab＜19 d、9＜ab＜19
思路點撥：在解三角形的有關中線問題時，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識求解，這也是一種常見的作輔助線的方法。選d
例4：如圖，在△abc中，∠a＝．∠abc與∠acd的平分線交於點a1，得∠a1；∠a1bc與∠a1cd的平分線相交於點a2，得∠a2； ……；∠a2008bc與∠a2008cd的平分線相交於點a2009，得∠a2009 ．則∠a2009＝ ．
思路點撥：根據外角的性質∠a=∠acd-∠abc, ∠a1=∠a1cd-∠a1bc,,而且∠acd=2∠a1cd，∠abc=2∠a1bc，所以∠a=2∠a1，同理∠a1=2∠a2，
以此類推.答案：
【跟蹤練習】
1. 下列長度的三條線段能組成三角形的是( )
a．1cm， 2cm， 3．5cm b．4cm， 5cm， 9cm
c．5cm， 8cm， 15cm d．6cm，8cm， 9cm
2．（2009·山西省太原市）如果三角形的兩邊分別為3和5，那麼連線這個三角形三邊中點所得的三角形的周長可能是（ ）
a．4b．4.5c．5 d．5.5
3.（2009·福建省龍巖市）將一副三角板按圖中方式疊放，則角等於（ ）
a．30° b．45° c．60° d．75°
4．（2009·遼寧省鐵嶺市）如圖所示，已知
直線，，，
則的度數為（ ）
a．70b．80c．90d．100
知識點2：全等三角形
【典例精析】
例1.（2008，新疆烏魯木齊）在一次數學課上，王老師在黑板上畫出下圖，並寫下了四個等式：①ab=dc；②be=ce；③∠b=∠c；④∠bae=∠cde．要求同學從這四個等式中選出兩個作為條件，推出△aed是等腰三角形
請你試著完成王老師提出的要求，並說明理由．（寫出一種即可）
已知：求證：△aed是等腰三角形．
證明： 思路點撥： 本例是一道開放性問題，考查全等三角形的識別，填法多樣，一般先看從題中已知的四個條件中取出兩個共有六種取法，再看有幾種正確．正確的填法可以是已知：
①③（或①④，或②③，或②④）（任選乙個即可）．
點評幾何演繹推理論證該如何考？一直是大家所關注的．本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓同學們自主構造問題，自行設計命題並加以論證，給學生創造了乙個自主**的機會，具有一定的挑戰性．這種考查的形式在近幾種的中考試題中頻繁出現，複習時值得重視．
例2. 已知rt△abc中，∠c=90°．
（1）根據要求作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）．
①作∠bac的平分線ad交bc於點d；
②作線段ad的垂直平分線交ab於點e，交ac於點f，垂足為h；
③鏈結ed．
（2）在（1）的基礎上寫出一對全等三角形並加以
證明． 思路點撥 （1）按照要求用尺規作∠bac的平分線ad，作線段ad的垂直
平分線，並鏈結相關線段． （2）由ad平分∠bac，
可以得到∠bad=∠dac．
由ef垂直平分線段ad，
可以得到∠eha=∠fha=∠ehd=90°，ea=ed，
從而有∠ead=∠eda=∠fah，再加上公共邊，
從而有△aeh≌△afh≌△deh．
以上三組中任選一組即可．
點評本題的最大特點是將基本作圖與證明結合起來，就目前的情況來看，「作圖→證明」「作圖→計算」「作圖→變換」是考查基本作圖的常見命題模式．作角平分線和線段的垂直平分線是新課標中明確提出的基本作圖之一，作圖的圖形中含有很多相等的線段和角，蘊含著全等三角形．
例3 在△abc中，∠a=90°，ab=ac，d為bc的中點．
（1）如圖1，e，f分別是ab，ac上的點，且be=af，求證：△def為等腰直角三角形；
（2）如圖2，若e，f分別是ab，ca延長線上的點，仍有be=af，其他條件不變，那麼△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．
圖1圖2
例4. 在△abc中，ab=ac，cg⊥ba交ba的延長線於點g，一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為f，一條直角邊與ac邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點b．
（1）在圖中請你通過觀察、測量bf與cg的長度，猜想並寫出bf與cg滿足的數量關係，然後證明你的猜想；
（2）當三角尺沿ac方向平移到如圖2所示的位置時，一條直角邊仍與ac邊在同一直線上，另一條直角邊交bc邊於點d，過點d作de⊥ba於點e．此時請你通過觀察，測量de，df與cg的長度，猜想並寫出de+df與cg之間滿足的數量關係，然後證明你的猜想；
（3）當三角尺在（2）在基礎上沿ac方向繼續平移到如圖3所示的位置（點f**段ac上，且點f與點c不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）
圖1圖2圖3
點評本題從直接證明三角形全等，到**新的情況下如何構建新的全等三角形證明待定的數量關係，再到不同位置關係下的歸納猜想，三個問題由淺入深考查學生的不同層次的數學能力．本題還可以利用面積來進行證明，比如（2）中鏈結ad．
【跟蹤練習】
1.（2009·四川省遂寧市）已知△abc中，ab=bc≠ac，作與△abc只有一條公共邊，且與△abc全等的三角形，這樣的三角形一共能作出個.
2．（2008，貴州遵義）如圖，oa=ob，oc=od，∠o=50°，∠d=35°，則∠aec等於（ ）
a．60° b．50
c．45d．30°
3．（2008，黑龍江佳木斯）如圖，∠bac=∠abd，請你新增乙個條件
使oc=od（只添乙個即可）．
4．（2008，湖北宜昌）如圖，在△abc與△abd中，bc=bd，設點e是bc的中點，點f是bd的中點．
（1）請你在圖中作出點e和點f；（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）
（2）鏈結ae，af，若∠abc=∠abd，請你證明△abe≌△abf．
知識點4：等腰三角形
【典例精析】
例1 （2008，安徽）已知點o到△abc的兩邊ab，ac所在直線的距離相等，且ob=oc．
（1）如圖1，若點o在bc上，求證：ab=ac；
（2）如圖2，若點o在△abc的內部，求證：ab=ac；
（3）若點o在△abc的外部，ab=ac成立嗎？請畫圖表示．
（3）不一定成立．
當∠a的平分線所在直線與邊bc的垂直平分線重合時，有ab=ac，否則ab≠ac，
如示例圖．
成立不成立
點撥本例從o點的特殊位置（bc邊的中點）**圖形的性質，再運用變化的觀點**一般位置（點o在△abc內，點o在三角形外）下圖形的性質有何變化，培養同學們從不同的角度分析，解決問題的能力，拓展思維，提高綜合解題能力．
例2 如圖，△abc中，e，f分別是ab，ac上的點．①ad平分∠bac；②de⊥ab，df⊥ac；③ad⊥ef．以此三個中的兩個為條件，另乙個為結論，可構成三個命題，即
（1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）；
（2）請證明你認為正確的命題．
解析 （1）①②③正確；①③②錯誤；②③①正確．
點撥： 本題是義務教育課程標準實驗教科書數學（人教版）八年級上第111頁拓廣探索題的變式與拓展，該例在教材中多次以不同形式出現，八年級（上）（人教版）第150頁第13題，第158頁第11題．因此，在九年級的學習過程中一定要重視教材中的典型例題，習題，想一想這些題還可以進行怎樣的變式，與前後的知識與方法有什麼聯絡，還可以得到什麼結論等．這樣可以不斷提高自己的綜合解題能力．
【跟蹤練習】
1．（2008，遼寧瀋陽）若等腰三角形中有乙個角等於50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（ ）
a．50° b．80° c．65°或50° d．50°或80°
三角形中考複習
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