線面垂直證明專題
1.直線與平面垂直的定義：
如果一條直線和乙個平面內的任何一條直線都垂直，那麼就稱這條直線和這個平面垂直.
2.直線與平面垂直的判定:
線面垂直判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.
判定定理1：如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，則另一條直線也垂直於這個平面。
判定定理2：一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，那麼就垂直另乙個平面。
性質定理3：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行。
專題一線面垂直的判定應用
1 下列條件中，能使直線m⊥的是（ ）
a m⊥b,m⊥c,b⊥,c⊥
c mb=a,b⊥內有abcd，o是它的對角線的交點，點p在外，且pa=pc，pb=pd，
求證：po⊥。
2 在正方體abcd-a1b1c1d1中，p為dd1的中點，o為abcd中心，求證：b1o⊥面pac
3 如圖，已知空間四邊形abdc的邊bc=ac,ad=bd,引be⊥cd，e為垂足，作ah⊥be於h，
求證：ah⊥面bcd
4 如圖，四邊形abcd是矩形，pa⊥面abcd，pad是等腰三角形，m,n分別是ab,pc的中
點，求證：mn⊥面pcd
5 如圖，在正方體ac1中，m,n,e,f分別是中點。
（1）求證a1e⊥面abmn；（2）求異面直線a1e與mf所成角的大小。
專題二線面垂直性質的應用
1 已知pa⊥⊙o所在平面，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上的異於a，b的任意一點，過a作
ae⊥pc，垂足為e，如圖，求證：ae⊥面pbc
2 已知，如圖矩形abcd，過a作sa⊥面ac，再過a作ae⊥sb交sb於e，過e作ef⊥sc
交sc於f。（1）求證：af⊥sc；（2）若平面aef交sd於g，求證：ag⊥sd
3 如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，m，n分別是ab,a1c的中點，求證：mn⊥面a1dc
4 如圖，底面abcd為正方形，sa⊥面abcd，過a且垂直於sc的平面交sb,sc,sd分別於
點e,f,g求證：ae⊥sb
專題三直線與平面所成的角
1 已知直線a是平面的斜線，b，當a與b成60°角，且b與a在內的射影
成45°角時，求a與所成角
2 如圖，在直三稜柱ab0-a1b1o1中oo1=4，oa=4，ob=3,=90°，d是限度a1b1的中
點，p是側稜bb1上的一點，若op⊥bd，求op與底面aob所成的角
3 在正方體abcd-a1b1c1d1中，e,f分別是aa1，a1d1的中點
（1）求d1b與平面ac所成的角的余弦值
（2）求ef與平面a1c1所成的角的大小
4 如圖，l1,l2是相互垂直的異面直線，mn是它們的公垂線段，點a,b在l1上，c在l2
上，am=mb=mn。（1）求證：ac⊥nb;（2）若=60°，求nb與平面abc所成的角
題型四點到平面的距離
1 如圖，已知p為abc所在平面外的一點pa,pb,pc兩兩垂直，pa=pb=pc=a，求點p到
底面的距離
2 如圖，在稜長為1的正方體中，e,f分別是稜aa1，bb1的中點，g為稜a1b1上的一點
求點g到平面d1ef的距離
題型五摺疊問題
1 如圖，e,f分別是正方形abcd變bc和cd的中點，沿ae,af,ef折起，使b,c,d重合於
p，試問ap與平面pef,平面aef，平面pae，平面paf那個面垂直
2 如圖,ad是邊長為2的正三角形abc的bc邊上的高，沿ad將abc折起，使=60°
求ad與平面abc所成角的正切值。
（三）面、面垂直的判定
（四）面、面垂直的性質
（五）二面角及二面角的平面角定義
題型一面面垂直判定及性質的應用
1 已知菱形abcd的邊長為2a，=60°，所在平面為，ae⊥,cf⊥,如圖，且ae=3a，
cf=a，求證：平面bde⊥面bdf
2 如圖，為正三角形，ce⊥面abc，bd∥ce，且ce=ac=2bd，m是ae的中點，求證：
（1）面bdm⊥面eca；（2）面dea⊥面eca；
3 如圖，在四稜錐p-abcd中，側面pad是正三角形，且與底面垂直，底面abcd是邊長為2
的菱形，bad=60°，n,m,e分別為中點，求證：（1）en∥面pdc;（2）bc⊥面peb；
（3）面pbc⊥面admn
4 如圖，vb⊥面abc，面vab⊥面vac，求證：ba⊥ac。
題型二二面角的應用
1 如圖，在四面體abcd中，都全等，且ab=ac=[', 'altimg': '', 'w': '27', 'h': '29'}]，bc=2，求
以bc為稜，以麵bcd和麵bca為面的二面角大小
2 如圖，在abc中，ab⊥bc,sa⊥面abc，de垂直平分sc，且分別交ac,sc於d,e，又sa=ab.
sb=bc,求二面角e-bd-c的大小
3 如圖甲所示，在直角梯形pdcb中，pd與cb平行，cdpd,pd=6，bc=3，dc=[', 'altimg': '', 'w': '27', 'h': '29'}]，a是
pd的中點，沿ab把平面pab折起到乙圖平面ｐａｂ的位置，使二面角ｐ-cd-b成45°
設e，f封閉是ab、pd的中點，（1）求證：af∥面pec；（2）求二面角p-bc-a的大小
四知識小結
高中數學必修
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