第三章證明（一）複習教案
教學目標
（一）教學知識點
1．證明的必要性，了解證明的書寫格式．
2．了解定義、命題、公理和定理的含義．
3．平行線的性質定理和判定定理．
4．三角形的內角和定理及推論．
（二）能力訓練要求
1．理解證明的含義．
2．通過具體例子，進一步了解定義、命題，定理、公理的含義，並會區分命題的條件和結論．
3．掌握用綜合法證明的格式．體會證明的過程要步步有依據．
4．通過回顧與思考，進一步理解掌握平行線的性質定理和判定定理，並會靈活應用．
5．通過回顧與思考，進一步理解掌握三角形內角和定理及推論，並會靈活應用．
（三）情感與價值觀要求
通過學生回顧與思考，使他們進一步體會直觀是重要的，但有時也會欺騙人，這時就需要通過邏輯推理來判斷，培養學生的推理論證能力，進而發展他們的空間觀念．
教學重點
1．平行線的性質定理和判定定理的應用．
2．三角形內角和定理及其推論的應用．
3．證明的步驟及書寫格式．
教學難點
證明過程的書寫．
教學方法
自學，小組討論法．
教具準備
投影片三張
第一張：問題（記作投影片「回顧與思考」 a）
第二張：平行線的判定與性質的關係圖（記作投影片「回顧與思考」 b）
第三張：知識結構圖（記作投影片「回顧與思考」 c）
教學過程
ⅰ．巧設問題情境，引入課題
［師］前面幾節課我們**了第六章「證明」，在教學中為什麼要證明？如何證明呢？今天我們就來對此進行回顧與思考．
ⅱ．回顧與思考
［師］同學們先獨立思考下列問題，然後以小組為單位進行討論，共同回顧本章的內容．（出示投影片「回顧與思考」 a）
1．直觀是重要的，但它有時也會欺騙人，你還能找到這樣的例子嗎？
2．請你用自己的語言說一說什麼叫定義、命題、公理和定理．
3．什麼條件下兩條直線平行？兩條直線平行又會怎樣？這兩類命題的條件和結論有什麼關係？你會證明它們嗎？
4．三角形內角和定理怎樣證明？三角形的外角與內角有什麼關係？
5．請你用自己的語言說一說證明的基本步驟．
（學生通過討論、歸納、舉例、乙個乙個問題解決）
［生甲］如：兩棵一樣高的樹，但相距很遠，當你站在其中一棵樹旁邊時，顯得它很高，而另一棵較低．
圖3－69
又如圖3－69：
直**，圖3－69（1）長，圖3－69（2）短，實際上是一樣長的．
……（學生舉出了許多生活中的例項，說明直觀有時也會發生錯誤）
［生乙］定義就是對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規定．
命題呢，就是判斷一件事情的句子．
公理：是人們在長期的實踐中總結出來的，正確的命題．即公認的真命題．
定理是經過推理的過程得到的真命題．
［生丙］在同位角相等的情況下，兩直線平行；在內錯角相等或同旁內角互補的情況下，兩直線平行．
如果兩條直線平行時，則同位角相等，內錯角也相等，同旁內角是互補的．
這兩類命題的條件和結論正好相反．
［生丁］兩條直線平行的判定定理的條件是兩條直線平行的性質定理的結論，它的結論又正好是兩直線平行的性質定理的條件．
［生戊］公理也是．
［師］同學們討論得很好，這兩類命題的關係如下圖（出示投影片「回顧與思考」 b）
［師］你們會證明它們嗎？
［生］會．主要利用平行線的性質公理證明其性質．利用平行線的判定公理證明判定定理．
［師］很好．接下來看問題4、5．
［生甲］證明三角形內角和定理的思路是將原三角形中的三個角「湊」到一起組成乙個平角．一般需要作輔助線．既可以作平行線，也可以作乙個角等於三角形中的乙個角．
［生乙］三角形的外角與它相鄰的內角是互為補角．
與它不相鄰的內角關係是：
（1）三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和．
（2）三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角．
［生丙］證明乙個命題是真命題的基本步驟是：
（1）根據題意，畫出圖形．
（2）根據條件、結論，結合圖形，寫出已知、求證．
（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．
［生丁］在證明時需注意：
（1）在一般情況下，分析的過程不要求寫出來．
（2）證明中的每一步推理都要有根據．
［師］同學們討論得真棒，通過分組活動，解決了具有能反映本章內容的一串問題．現在來梳理一下本章的知識結構圖．（出示投影片「回顧與思考」 c）
［師］好，下面我們通過練習來進一步熟悉掌握本章內容．
ⅲ．課堂練習
圖3－70
1．將正方形的四個頂點用線段連線，什麼樣的連法最短？研究發現，並非對角線最短．而是如圖3－70的連法最短（即用線段ae、de、ef、cf、bf把四個頂點連線起來），已知圖中∠dae=∠ade=30°,∠aef=∠bfe=120°,你能證明此時ab∥ef嗎？
答案：能．
證明：∵四邊形abcd是正方形（已知）
∴∠dab=90°（正方形的性質）
∵∠dae=30°（已知）
∴∠eab=60°（等式性質）
∵∠aef=120°（已知）
∴∠aef+∠eab=120°+60°=180°（等式的性質）
∴ab∥ef（同旁內角互補，兩直線平行）
圖3－71
2．已知，如圖3－71，直線a,b被直線c所截，a∥b．
求證：∠1+∠2=180°
證明：∵a∥b（已知）
∴∠1+∠3=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∵∠3=∠2（對頂角相等）
∴∠1+∠2=180°（等量代換）
圖3－72
3．已知，如圖3－72，∠1+∠2=180°,
求證：∠3=∠4．
證明：∵∠2=∠5（對頂角相等）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代換）
∴cd∥ef（同旁內角互補，兩直線平行）
∴∠3=∠4（兩直線平行，同位角相等）
4．回答下列問題
（1）三角形的乙個內角一定小於180°嗎？一定小於90°嗎？
（2）乙個三角形中最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？
（3）乙個三角形的最大角不會小於60°，為什麼？最小角不會大於多少度？
答案：（1）是不一定 （2）乙個乙個
（3）如果乙個三角形的最大角小於60°，則這個三角形的三個內角的和將小於180°，所以乙個三角形的最大角不會小於60°．
最小角不會大於60°．
圖3－73
5．「作乙個立方體使它的體積等於已知立方體的2倍」，這是數學史上三個著名問題之一．今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出這樣的立方體的．在探索這一問題的過程中，有人曾利用過如圖3－73所示的圖形．
其中ab⊥bc，bc⊥cd，ac⊥bd，2pd=pa．如果∠a=α，那麼∠abp和∠pcd等於多少？
解：∵ac⊥bd（已知）
∴∠apb=90°（垂直的定義）
∵∠a+∠apb+∠abp=180°（三角形的內角和定理）
∠a=α
∴∠abp=90°－α（等式的性質）
∵ab⊥bc，bc⊥cd（已知）
∴∠abc=∠bcd=90°（垂直的定義）
∴∠abc+∠bcd=180°（等式的性質）
∴ab∥cd（同旁內角互補，兩直線平行）
∴∠a=∠acd（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠a=α（已知）
∴∠pcd=α（等量代換）
圖3－74
6．已知，如圖3－74，在△abc中，de∥bc，f是ab上一點，fe的延長線交bc的延長線於點g，求證：∠egh>∠ade．
證明：∵de∥bc（已知）
∴∠ade=∠b（兩直線平行，同位角相等）
∵∠egh是△fbg的乙個外角（已知）
∴∠egh>∠b（三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角）
∴∠egh>∠ade（等量代換）
7．已知，如圖3－75，直線ab∥ed．
求證：∠abc+∠cde=∠bcd．
（12）
圖3－75
本題有多種證法．
證法一：（如圖3－75（1））過點c作cf∥ab．
∴∠abc=∠bcf（兩直線平行，內錯角相等）
∵ab∥ed（已知）
∴ed∥cf（兩直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行）
∴∠edc=∠fcd（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠bcf+∠fcd=∠edc+∠abc（等式性質）
即：∠bcd=∠abc+∠cde
證法二：（如圖3－75（2）），延長bc交de於f點
∵ab∥de（已知）
∴∠abc=∠cfd（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠bcd是△cdf的乙個外角（已知）
∴∠bcd=∠cfd+∠cde（三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角和）
∴∠bcd=∠abc+∠cde（等量代換）
ⅳ．課時小結
本節課我們複習了第六章「證明（一）」的主要內容．大家要掌握證明的基本步驟，要會靈活新增輔助線，把條件和結論聯絡起來．還要會應用平行線的性質，判定及三角形的內角和定理、推論來解決一些證明、計算問題．
ⅴ．課後作業
（一）課本p96複習題
（二）寫乙份小結，總結自己在本章學習中的收穫、困難和需要改進的地方．
ⅵ．活動與**
圖3－76
1．已知，如圖3－76，∠b=32°,∠d=38°,am、cm分別平分∠bad、∠bcd，求∠m的度數．
你能把它一般化嗎？你會證明如下結論嗎？
am、cm分別平分∠bad和∠bcd．
求證：∠m=（∠b+∠d）
［過程］讓學生在探索的活動過程中，體會由特殊到一般的過程．培養他們分析、綜合、歸納的能力．
［結果］解：∵am、cm分別平分∠bad和∠bcd．
∴∠bam=∠bad，∠mcb=∠bcd．
∵∠b+∠bad+∠afb=180°
∠d+∠bcd+∠dfc=180°
∠afb=∠dfc
∴∠b+∠dab=∠d+∠bcd
∴∠dab－∠bcd=∠d－∠b
∵∠bem=∠m+∠bcm，
∠bem=∠b+∠bam
∴∠m+∠bcm=∠b+∠bam
∴∠m=∠b+∠bam－∠bcm
=∠b+（∠dab－∠bcd）
=∠b+（∠d－∠b）
=（∠b+∠d）
∵∠b=32° ∠d=38°
∴∠m=（32°+38°）=35°
板書設計
回顧與思考
一、問題串
二、知識結構圖
三、課堂練習
四、課時小結
五、課後作業
八年級數學上冊第三章 3 5
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八年級上冊第三章複習
八年級上冊第三章知識回顧 知識點一 位置的確定 用行 列確定位置用方位角 距離確定位置 用經 緯確定位置區域定位 注 在平面內，確定乙個物體的位置一般需要 個資料.2 在空間內,確定乙個物體的位置一般需要 個資料.針對練習 1 在平面內,下列資料不能確定物體位置的是 樓 號 北偏西 正陽東路58號 ...
八年級數學第三章實數教案
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