第一章證明（二）
1. 你能證明它們嗎（二）
河南省鄭州八中劉正峰王蕊
一、學生知識狀況分析
在八年級下冊第六章《證明（一）》，學生已經感受了證明的必要性，並通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規範，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題；而前一課時，學生剛剛證明了等腰三角形的性質，這為本課時拓展等腰三角形的性質、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。
二、教學任務分析
本節將利用前一課時所證明的等腰三角形的性質定理，進一步研究等腰三角形的一些特殊性質，以及等腰三角形的判定定理，前者是性質定理的直接運用與拓廣，後者則是前者的逆命題，可以發展學生的逆向思維能力，同時後者的證明過程中，需要借助反證法，因而反證法的學習與運用也成為本課時的教學任務之一，為此，確定本節課的教學目標如下：
1．知識目標：
①探索——發現——猜想——證明等腰三角形中相等的線段，證明等腰三角形的判定定理，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；
②初步了解反證法的含義，並能利用反證法證明簡單的命題；
2．能力目標：
①經歷「探索－發現－猜想－證明」的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；
②在命題的變式中，發展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；
③在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發展學生的幾何直覺；
④引導學生體會蘊含在問題解決過程中的思想方法，如歸納、模擬、反證法等。
3．情感與價值觀要求
①鼓勵學生積極參與數學活動，激發學生的好奇心和求知慾．
②體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹性．
4．教學重、難點
重點：經歷「探索——發現一一猜想——證明」的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論．結合例項體會反證法的含義．
難點：①由一般結論歸納出特殊結論．
②探求證明思路，特別是反證法的思路含義．
三、教學過程分析
本節課設計了八個教學環節：第一環節：提出問題，引入新課；第二環節：
自主**；第三環節：經典例題變式練習；第四環節：逆向思考，匯出反證法；第五環節：
適時提問匯出反證法；第六環節：及時鞏固隨堂練習；第七環節：．**收穫課時小結；第八環節：
布置作業。
第一環節：提出問題，引入新課
活動內容：在回憶上節課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：
在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?
活動目的：回顧性質，既為後續研究判定提供了基礎；同時，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內容，而新的問題是原有性質的乙個自然拓廣，有助於提高學生提出問題的能力。
第二環節：自主**
活動內容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，並嘗試給出證明。
活動目的：讓學生再次經歷「探索——發現——猜想——證明」的過程，進一步體會證明的必要性，並進行證明，從中進一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性。
活動效果與注意事項：活動中，教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：
你可能得到哪些相等的線段？
你如何驗證你的猜測？
你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；
還可以有哪些證明方法？
通過學生的自主**和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上**出：
等腰三角形兩個底角的平分線相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中線相等．
並對這些命題給予多樣的證明。
如對於「等腰三角形兩底角的平分線相等」，學生得到了下面的證明方法：
已知：如圖，在△abc中，ab=ac，bd、ce是△abc的角平分線．
求證：bd=ce．
證法1：∵ab=ac，
∴∠abc=∠acb(等邊對等角)．
∵∠1=∠abc，∠2=∠abc，
∴∠1=∠2．
在△bdc和△ceb中，
∠acb=∠abc，bc=cb，∠1=∠2．
∴△bdc≌△ceb(asa)．
∴bd=ce(全等三角形的對應邊相等)
證法2：證明：∵ab=ac，
∴∠abc=∠acb．
又∵∠3=∠4．
在△abc和△ace中，
∠3=∠4，ab=ac，∠a=∠a．
∴△abd≌△ace(asa)．
∴bd=ce(全等三角形的對應邊相等)．
在證明過程中，學生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴格證明表述經驗尚顯不足，因此，教學中教師應注意對證明規範提出一定的要求，因此，注意請學生板書其中部分證明過程，借助課件展示部分證明過程；可能部分學生還有一些困難，注意對有困難的學生給予幫助和指導。
第三環節：經典例題變式練習
活動內容：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？並在學生思考的基礎上，研究課本「議一議」：
在課本圖1—4的等腰三角形abc中，
(1)如果∠abd=∠abc，∠ace=∠acb呢?由此，你能得到乙個什麼結論?
(2)如果ad=ac，ae=ab，那麼bd=ce嗎?如果ad=ac，ae=ab呢?由此你得到什麼結論?
活動目的：提高學生變式能力、問題拓廣能力，發展學生學習的自主性。
活動注意事項與效果：教學中應注意對學生的引導，因為學生先前這樣的經驗比較少，可能學生一時不知如何研究問題，教師可以引導學生思考：把底角二等份的線段相等．如果是三等份、四等份……結果如何呢?
從而引出「議一議」。
由於課堂時間有限，如果學生全部解決上述問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述這些問題的基礎上，讓學生證明其中部分問題，而將其餘問題作為課外作業，延伸到課外；當然，也可以對不同的學生提出不同的要求，如普通學生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學優生解決所有的問題，甚至要求這部分學優生思考「還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的」。
在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。
下面是學生的課堂表現：
[生]在等腰三角形abc中，如果∠abd=∠abc，那麼bd=ce．這和證明等腰三角形兩底角的角平分線相等類似．證明如下：
∵ab=ac，
∴∠abc=∠acb(等邊對等角)．
又∵∠abd=∠abc, ∴∠ace=∠acb,
∴∠abd=∠ace．
在△bdc和△ceb中，
∵∠abd=∠ace，bc=cb，∠acb=∠abc,
∴△bdc≌△ceb(asa)．
∴bd=ce(全等三角形的對應邊相等)
[生]如果在△abc中，ab=ac, ∠abd=∠abc，∠ace=∠∠acb，那麼bd=ce也是成立的．因為ab=ac，所以∠abc=∠acb，利用等量代換便可得到∠abd=∠ace，△bdc與△ceb全等的條件就能滿足，也就能得到bd=ce．由此我們可以發現：
在△abc中，ab=ac，∠abd=∠∠abc，∠ace=∠acb，就一定有bd=ce成立．
[生]也可以更直接地說：在△abc中，ab=ac，∠abd=∠ace，那麼bd=ce．
[師]這兩位同學都由特殊結論猜想出了一般結論．請同學們把一般結論的證明過程完整地書寫出來．(教師可巡視指導)下面我們來討論第(2)問，請小組代表發言．
[生]在△abc中，ab=ac，如果ad=ac，ae=ab，那麼bd=ce；如果ad=ac，ae=ab，那麼bd=ce．由此我們得到了乙個更一般的結論：在△abc中，ab=ac，ad=ac，ae=ab，那麼bd=ce．證明如下：
∵ab=ac．
又∵ad=ac，ae=ab，
∴ad=ae．
在△adb和△aec中，
ab=ac，∠a=∠a，ad=ae，
∴△adb≌△aec(sas)．
∴bd=ce(全等三角形的對應邊相等)．
[生]一般結論也可更簡潔地敘述為：在△abc中，如果ab=ac，ad=ae，那麼bd=ce．
[師]這裡的兩個問題都是由特殊結論得出更一般的結論，這是我們研究數學問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果．例如通過對這兩個問題的研究，我們可以發現等腰三角形中，相等的線段有無陣列．這和等腰三角形是軸對稱圖形這個性質是密不可分的．
第四環節：逆向思考，匯出反證法
活動過程與效果：
教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以「反過來」思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑．例如「等邊對等角」，反過來成立嗎?也就是：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?
[生]如圖，在△abc中，∠b=∠c，要想證明ab=ac，只要構造兩個全等的三角形，使ab與ac成為對應邊就可以了．
[師]你是如何想到的?
[生]由前面定理的證明獲得啟發，比如作bc的中線，或作a的平分線，或作bc上的高，都可以把△abc分成兩個全等的三角形．
[師]很好．同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然後分組討論．
[生]我們組發現，如果作bc的中線，雖然把△abc分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全等．因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的．後兩種方法是可行的．
[師]那麼就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過程書寫出來．(教師可讓兩個同學在黑板上演示，並對推理證明過程講評)
(證明略)
[師]我們用「反過來」思考問題，獲得並證明了乙個非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊．我們不僅發現了幾何圖形的對稱美，也發現了數學語言的對稱美．
第五環節：適時提問匯出反證法
我們模擬歸納獲得乙個數學結論，「反過來」思考問題也獲得了乙個數學結論．如果否定命題的條件，是否也可獲得乙個數學結論嗎?我們一起來「想一想」：
小明說，在乙個三角形中，如果兩個角不相等，那麼這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?
有學生提出：「我認為這個結論是成立的．因為我畫了幾個三角形，觀察並測量發現，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等．但要像證明「等角對等邊」那樣卻很難證明，因為它的條件和結論都是否定的．」
你能證明它們嗎 二 教學設計
第一章證明 二 1.你能證明它們嗎 二 來集鎮一初中 盧志明 一 學生知識狀況分析 在八年級下冊第六章 證明 一 學生已經感受了證明的必要性，並通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規範，積累了一定的證明經驗 在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題...
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你能證明它們嗎教學設計
2 公理的兩個三角形全等。3 公理的兩個三角形全等。4 公理 全等三角形的對應邊對應角 3.還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎？4 你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？活動目的 經過乙個暑假，學生難免有所遺忘，因此，在第一課時，回顧有關內容，既是對前面學習內容的乙個簡單梳理，也為後續有關證明做...