關鍵詞: 對稱分劃，計時，模型，比例係數，北方向值
多年來,筆者一直使用文獻[1]介紹的固定經緯儀照准部的陀螺對稱分劃計時法測定井下起算邊的座標方位角。時間記錄及解算用pc－1500計算機完成。實踐中發現,近似北一旦有意偏置一下，則陀螺方位角就隨之發生變化,而且與偏置值正相關。
這說明時間觀測及其資料處理模型不能對近似北進行很好地改正。其它資料中也未見其數學模型的推證。這促使筆者對該方法進行較深入細緻地進行研究，結果是對其中引數取用做了一下修正，實踐表明修正後的模型是科學正確的。
現將自己的研究成果介紹給感興趣的同行。
1. 對稱分劃計時法數學模型
。其數學模型為(見文獻[1])：
n＝n』＋ △n
δn＝ekuv
e＝(1+)τ＝(t12∕t22)τ＝2ct2/(3600π) (見文獻[2]) ③
v＝tg(90（(tk2－tk1)－(t-k2－t-k1)）/t2
u＝tg(90((tk2－tk1)＋(t-k2－t-k1))/t2
n 陀螺北向值
n』 經緯儀近似北方向度盤讀數
△n 陀螺時間觀測解算的近似北改正數,最終取k對刻劃的算術平均值。
e 本文取用等式最右側公式，為實測比例係數，用中天法實測比例係數c和不跟蹤週期t2 計算得到。單位為「度/格」。文獻[1]取左側公式。
c 中天法實測比例係數，c 單位為「秒/（格.時秒）」。
t2 不跟蹤擺動週期， π園周率
k 陀螺目鏡分劃板分劃值，當開始計時指針線向右擺取正值，向左擺取負值。
tk1 tk2 陀螺指針線第一次第二次經過第k分劃的時刻 ，
t-k1 t-k2 陀螺指針線第一次第二經過第－k分劃的時刻
2. 對稱分劃計時法數學模型推證
我們知道在固定照准部的情況下，一測回內陀螺指針線在目鏡分劃板上的擺動過程可以用方程表示如下：
x＝a sin((360(t+t0)/ t2)+ x0
x t時刻陀螺指針線在分劃板上的位置
a 陀螺指針線在分劃板上的擺幅
t0 初相位時刻
x0 陀螺指針線在分劃板上擺動平衡位置，將其乘上比例係數e後即是δn。
對稱分劃記時法觀測過程就是在乙個擺動週期內，當陀螺指針線經過k分劃時記錄其時刻。如當k＝5時且記錄開始時指針線向右擺，則記錄指針線經過第0，－1，－2，－3，－4，－5， －5，－4，－3，－2，－1,0，1，2，3，4，5，5，4，3，2，1，0分劃時，分別記錄其時刻。共計錄23個時刻值。
這樣t2＝t03-t01 。可讀取擺幅作為備考。
從觀測過程可知，k分劃處有兩個時間觀測值，共同對應x=k，但tk1 對應角在第一象限，tk2在第二象限；x=-k分劃處的t-k1在第三象限，t-k2在第四象限。根據三角函式誘導公式，分別把它們轉換為第一象限角後，取其平均值，使之對應x＝k及x=－k，可以得到兩個方程如下：
k＝asin（（360（tk1＋t0）/t2＋180－360(tk2＋t0)/t2）/2）＋x0
－k＝－asin（（360（t-k1＋t0）/t2－180）＋360－360(t-k2＋t0)/t2）/2）＋x0
兩式化簡後得：
k＝acos(180(tk2-tk1)/t2)＋x0
－k＝－acos((180（t-k2－t-k1）/t2)＋x0
解方程組並化簡得：
x0＝k tg(90((tk2－tk1)＋(t-k2－t-k1))/t2) tg(90((tk2－tk1)－（t-k2－t-k1）)/t2) ⑦
x0是陀螺指針線在分劃板上擺動平衡位置， 將x0乘上比例係數e並考慮④、⑤兩式後即是δn，即
δn＝ex0＝ekuv
至此公式得證。
3．測定e值
測定e值就是分別在陀螺北向值的東西兩側偏置望遠鏡近似北讀數，可偏置15′至20′。按前述方式進行兩次計時觀測，按⑦式解算k對分劃的平均值x0。分別求得偏東置時的x0東，和偏西置時的x0西，然後按⑧式求算e.
e＝(n′東- n′西)/| x0東- x0西
也可以通過偏置望遠鏡近似北讀數的方式實測中天法比例係數c,按③式最後一項解算e.
4.對稱分劃計時法數學模型分析
研究本模型發現，陀螺北向值與經緯儀近似北度盤讀數n』，比例係數e，陀螺目鏡分劃值k，不蹤週期t2及時間序列t有關；與跟蹤週期t1，陀螺目鏡分劃格值τ無關。這樣拋開目鏡分劃板格值和與固定照准部不相干的跟蹤週期t1兩個引數，形成了乙個完整且獨立的觀測系統。而中天法和跟蹤逆轉點法就是這樣兩個完整獨立且可靠的觀測系統，所以被做為經典觀測方法在各種教科書上加以介紹。
基於上述原理，任何記時觀測法中的解算比例係數都不能採用跟蹤週期、不跟蹤週期和目鏡分劃板格值通過原理推導公式計算，而應採用實測引數,實測方法同中天法。這樣便構成乙個獨立完整的計時觀測模型及其處理系統。
仔細分析對稱分劃計時法的數學模型還能發現，它是中天法的一般情況，模型中的v式相當於中天法的△t ,k與u之積相當於中天法的擺幅a，e 相當於中天法的c。而中天法就是對稱分劃法無解時的特例。通過偏置經緯儀北向位置，可以很好地印證本模型的可靠性。
但使用t1 t2和τ三個引數計算得出的比例係數則不能對近似北進行很好的改正。事實上，當近似北的精度在1°時，採用文中引數的對稱分劃法可以對之進行較好的改正，不過近似北的誤差愈大，則陀螺北向值的精度愈低，一般控制在10ˊ左右比較好。我礦的一台jt15陀螺儀用中天法比例係數計算的e值與用跟蹤週期計算的e 值之差是＋600″/格。
顯然當儀器常數測定邊上的陀螺指針線的平衡位置為0分劃處，定向邊上的陀螺指針線的平衡位置在+1分劃處，則使定向結果存在粗差10′，且不能被查覺。可見正確測定比例係數的必要性，不能直接使用t1,t2計算比例係數e。
5.精度與計時精度
5.1 定向精度統計
自2023年6月起，我們使用89年出廠的jt15陀螺儀按文中方法以2－2－2順序測定井下起算邊方位角，形成雙觀測列12個，統計出一次定向中誤差mt＝24″(該台儀器未達到標稱精度），如表1。統計例項中引數t2=433.6秒、c=3.
9784″/格.時秒、e＝0°18′18.2″。
表1 雙觀測列定向精度統計（兩測回不附值限制在70″內，按25″級儀器使用）
5.2 計時精度
影響陀螺擺動計時精度的因素很多：如電壓，日照，地面振動，判讀，擺幅等都對計時結果產生影響。統計不跟蹤週期的中誤差等於1.
288秒就充分說明了上述問題。從觀測過程看，陀螺指針線無顫動且擺幅越大，計時精度越高；但從解算模型分析，擺幅較大時對計時精度也提出了更高的要求。因模型中的v是與擺幅無關而與近似北精度密切相關且對應角度＜3°左右的正切值，時間誤差誤差對之影響很小；u是與擺幅密切相關而與近似北精度無關且對應角度為60°至85°的正切值，相對來說時間誤差對之影響就較大。
根據經驗擺幅小於10格時，可觀測3或4對分劃；擺幅大於10格時可觀測5至7對分劃。一般應限制擺幅13格以內，以便減小對懸掛帶可能造成地損壞。對一測回內各對分劃解算結果進行統計，結果顯示：
一測回內由一對分劃解算陀螺北向值的精度為mkt＝20″，取k=5時，一測回陀螺北向值的內部平均值中誤差為8.9″，而一次定向中誤差前述統計為24″，這說明陀螺外部環境對定向成果影響很大。
筆者用蒙特卡洛方法模擬計算，選用例項特徵為a＝13.7格,5對分劃，e=0°18′18.2″ ,t2＝433.
6秒。20個時間誤差序列服從t～n（0，mt 2）正態分佈，對應mt＝0.1，mt=0.
2,mt=0.3,mt=秒，各模擬20組觀測值。結果發現當時間觀測誤差mt小於0.
2秒時，接近實際工作中一測回內由一對分劃確定的陀螺北向值的內部附合精度，即mkt＝20″。試算過程中對誤差序列剔除了大於2倍中誤差的粗差，進行了t檢驗，χ2檢驗和相關性檢驗。另外當時間觀測值不變，t2按其中誤差變化時，模擬計算結果顯示它對解算精度的影響較小，其中誤差不超過4″，當然可一律採用測回內的實測值。
6．結論
1 對稱分劃計時法是乙個完整優秀的陀螺定向觀測和資料處理模型，是中天法的一般情況。
2 中天法和跟蹤逆轉點法均需連續觀測兩個週期，時間長勞動強度大。對稱分劃計時法在乙個週期內完成觀測，而且不必判讀逆轉點或擺幅，僅僅做時間觀測，具有顯著的優越性。
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