《數理統計》案例分析
2023年11月
一、問題分析
隨著科學技術的發展和計算機技術的普及，統計在自然科學和社會科學及社會生產中的應用越來越廣泛。同樣，當今統計與經濟的關係也是息息相關的，同時，我國經濟學界和經濟部門也意識到用數學方法來解決經濟問題的重要性，開始探索經濟問題中應用數學的規律。幾乎任何一項經濟學的研究、決策都離不開它的應用。
例如：實驗設計、多元分析、質量控制、抽樣檢查、**控制等都要用到概率統計知識。本文將利用統計方法解決一些產品生產與經濟管理問題，如經濟**、最大經濟利潤求解、投資風險、經濟損失估計、經濟管理決策、產品質量管理等。
二、問題求解
例1 某地區2023年-2023年的消費的零售額（億元）如下：
(1)求回歸直線方程（年份序號t從1至5）
(2)**一下2023年的零售額？
解：(1)設一元線性回歸方程為
用最小二乘法求，
所以，有
所以，一元線性回歸方程為
(2)經檢驗，線性相關關係顯著。
(3)故，**2023年的零售額，只需令t=6帶入上式，即
即2023年的零售額為43。277億元。
例2 假設由自動線加工的某種零件的內徑x（mm）服從正態分佈n（，1）內徑小於10或大於12為不合格品，其餘為合格品，銷售每件合格品獲得利潤，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤t（單位：元）與銷售零件的內徑x有如下關係：
t=問：平均內徑取何值時，銷售乙個零件的平均利潤最大？
解： 平均利潤
其中和分別為標準正態分佈函式和標準正態密度函式，
令上式為0，得：
即解此方程，得
由此知當=10.9mm時，平均利潤最大。
例3 設有一筆資金，總量記為1（可以是1萬元，也可以是100萬元），如今要投資甲、乙兩種**。若將資金投資甲**，將餘下的資金投資乙**，於是就形成了乙個投資組合。x為投資甲**的收益率，y為投資乙**的收益率，它們都是隨機變數。
如果已知ｘ和ｙ的均值（代表平均收益）分別為和，方差（代表風險）分別為和，x和y的相關係數為。試求該投資組合的平均收益與風險，並求使投資風險最小的是多少？
解：組合收益為
平均收益為
該組合的風險（方差）為：
求最小組合風險，即求d(z)關於的極小值點， 為此
令解得它與無關。d(z)中的係數為正，所以以上的可使組合風險達到最小。
例4 某廠製造一種馬達錠子，其內徑尺寸是乙個非常重要的質量特徵，它的分布可以假設為正態分佈，下面是從現場收集來的200個資料，經過排列分成11個組。並假設同一組內的錠子都取組中值為其內徑。比如第一組44個錠子的內徑都假設為20mm，整理得頻數表如下：
表6 某種馬達錠子內徑頻數表
根據頻數表畫直方圖，如下圖：
注：圖中有11個小矩形，每個矩形的面積代表錠子位於該組內的頻率，當n趨向無限時，組距無限縮小，它們的頂線接近於一條概率密度曲線。
已知在生產中，表現為在一適當長的時間內產品質量穩定，或在統計上，如果畫一張直方圖，呈現一種有規則的狀態。例如，質量指標服從正態分佈等，均可判定產品質量處於管理狀態。
觀察例題中影象及資料，明顯表示內徑偏小，不可能是正態分佈。這是因為工人師傅們幹內徑這種活總是寧可偏小以便改正，而不願偏大使產品報廢。這是產生內徑偏小的原因，必須排除，否則不能認為這道工序處於管理狀態。
三、結果分析
在實際經營中，許多量之間存在某種密切聯絡，根據數理統計原理可以根據往年資料或資訊，通過對社會經濟現象之間客觀存在的因果關係及其變化趨勢進行線性回歸分析**,從而得出未來的數量情況。例1即**一元線性回歸在經濟**中的應用。
不論商家生產什麼產品，追求最大利潤永遠都是他們的最終目標。隨機變數函式期望的應用為此問題的解決提供了新的思路。問題二的解決先是建立利潤與需求量的函式，然後求利潤的期望，從而得到利潤關於零件內徑的函式，最後利用求極值的方法得到答案。
在進行決策之前，往往存在不確定的隨機因素，幾乎所有的投資都是在風險和不確定情況下進行的，此時所做的決策有一定的風險，謂之風險決策型。一般地說，投資者都討厭風險並力求迴避風險。由概率統計知識對風險系統進行分析可以直接獲得風險決策，以例3投資風險組合為例說明它在投資風險中的應用。
在進行經濟管理決策之前，不確定的隨機因素隨時存在。從而所作的決策有一定風險。例5利用概率統計知識可以獲得合理的決策，從而實現這個目標。
概率雖不能直接提供決策建議，但是它能提供一些幫助決策者更好理解與問題有關風險和不確定性等方面資訊。在商品銷售過程中，商品的進貨量是乙個很重要的因素，因為商品賣不出去，要支付銀行的借款利息和支付商品的保管費用，既要保證商品不脫銷，又要保證商品不積壓，因此商品銷售者控制好進貨量是至關重要的。
四、總結與心得體會
解決問題需要很豐富的專業知識和經驗，但如能適當地配上有用的數理統計方法往往會提高解決問題的效率。實踐證明，概率統計在經濟中的應用越來越廣泛，並成為對經濟學問題進行量的研究的有效工具，為經濟**和決策提供了新的手段。由本文可知，靈活運用概率知識很容易解決一些實際問題。
因而，掌握更多的概率統計知識，能更方便的解決更多的經濟問題。
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