習題一1.計算899998＋89998＋8998＋898＋88
2.計算799999＋79999＋7999＋799＋79
3.計算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
4.計算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
5.時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依次類推.從1點到12點這12個小時內時鐘共敲了多少下？
6.求出從1～25的全體自然數之和.
7.計算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
8.計算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
9.計算（125×99＋125）×16
10.計算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
11.計算999999×78053
12.兩個10位數***和9999999999的乘積中，有幾個數字是奇數？
例1 比較下面兩個積的大小：
a＝987654321×123456789，
b＝987654322×123456788.
分析經審題可知a的第乙個因數的個位數字比b的第乙個因數的個位數字小1，但a的第二個因數的個位數字比b的第二個因數的個位數字大1.所以不經計算，憑直接觀察不容易知道a和b哪個大.但是無論是對a或是對b，直接把兩個因數相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將a和b先進行恒等變形，再作判斷.
解： a＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
b＝987654322×123456788
＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因為 987654321＞123456788，所以 a＞b.
例2 不用筆算，請你指出下面哪道題得數最大，並說明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245.
解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之後，再判斷.
241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；
242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；
243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；
244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；
245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.
恒等變形以後的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.
一般說來，將乙個整數拆成兩部分（或兩個整數），兩部分的差值越小時，這兩部分的乘積越大.
如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5
則5×5＝25積最大.
例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個數的總和.
解：五個數中，後乙個數都比前乙個數大10，可看出1986是這五個數的平均值，故其總和為：
1986×5＝9930.
例4 2、4、6、8、10、12…是連續偶數，如果五個連續偶數的和是320，求它們中最小的乙個.
解：五個連續偶數的中間乙個數應為 320÷5＝64，因相鄰偶數相差2，故這五個偶數依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
總結以上兩題，可以概括為巧用中數的計算方法.三個連續自然數，中間乙個數為首末兩數的平均值；五個連續自然數，中間的數也有類似的性質——它是五個自然數的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數可以記作：
x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對於奇數個連續自然數，最中間的數是所有這些自然數的平均值.
如：對於2n＋1個連續自然數可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是這2n＋1個自然數的平均值.
巧用中數的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.
例5 將1～1001各數按下面格式排列：
乙個正方形框出九個數，要使這九個數之和等於：
①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.
解：仔細觀察，方框中的九個數里，最中間的乙個是這九個數的平均值，即中數.又因橫行相鄰兩數相差1，是3個連續自然數，豎列3個數中，上下兩數相差7.框中的九個數之和應是9的倍數.
①1986不是9的倍數，故不行；
②2529÷9＝281，是9的倍數，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數表的最左一列，顯然它不能做中數，也不行；
③1989÷9＝221，是9的倍數，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數表中第四列，它可做中數.這樣可求出所框九數之和為1989是辦得到的，且最大的數是229，最小的數是213.
習題二 1.右圖的30個方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數已經填好，其餘每個格仔中的數等於同一橫行最左邊的數與同一豎列最上面的數之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右圖填滿後，這30個數的總和是多少？
2.有兩個算式：①98765×98769，
②98766 × 98768，
請先不要計算出結果，用最簡單的方法很快比較出哪個得數大，大多少？
3.比較568×764和567×765哪個積大？
4.在下面四個算式中，最大的得數是多少？
① 1992×1999＋1999
② 1993×1998＋1998
③ 1994×1997＋1997
④ 1995×1996＋1996
5.五個連續奇數的和是85，求其中最大和最小的數.
6.45是從小到大五個整數之和，這些整數相鄰兩數之差是3，請你寫出這五個數.
7.把從1到100的自然數如下表那樣排列.在這個數表裡，把長的方面3個數，寬的方面2個數，一共6個數用長方形框圍起來，這6個數的和為81，在數表的別的地方，如上面一樣地框起來的6個數的和為429，問此時長方形框子裡最大的數是多少？
習題二解答
1.先按圖意將方格填好，再仔細觀察，找出格中數字的規律進行巧算.
解法1：
先算每一橫行中的偶數之和：（12＋14＋16＋18）×6＝360.
再算每一豎列中的奇數之和：
（11＋13＋15＋17＋19）× 5＝375
最後算30個數的總和＝10＋360＋375＝745.
解法2：把每格的數算出填好.
先算出10＋11＋12＋13＋14
＋15＋16＋17＋18＋19＝145，
再算其餘格中的數.經觀察可以列出下式：
（23＋37）＋（25＋35）× 2
＋（27＋33）×3＋（29
＋31）× 4
＝ 60 ×（1＋ 2＋ 3＋4）
＝600
最後算總和：
總和＝145＋600＝745.
2. ① 98765 × 98769
＝ 98765 ×（98768＋ 1）
＝ 98765 × 98768＋98765.
② 98766 × 98768
＝（98765＋1）× 98768
＝ 98765 × 98768＋ 98768.
所以②比①大3.
3.同上題解法相同：568×764＞567×765.
4.根據「若保持和不變，則兩個數的差越小，積越大」，則 1996×1996＝3984016是最大的得數.
5.85÷5＝17為中數，則五個數是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的數是13.
6.45÷5＝9為中數，則這五個數是：3，6，9，12，15.
7.觀察已框出的六個數，10是上面一行的中間數，17是下面一行的中間數，10＋17＝27是上、下兩行中間數之和.這個中間數之和可以用81÷3＝27求得.
利用框中六個數的這種特點，求方框中的最大數.
429÷3＝143
（143＋7）÷2＝75 75＋1＝76
最大數是76.
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