丁建國澧縣方石坪鎮中學丁建國
在解幾何證明題時，常遇到一些較難的幾何題，若遵循常規的解題思路有時會陷入僵局。為了拓展思維，打破定勢，筆者擬從以下幾種方法發掘題中已知與未知的聯絡。
一、線段和差變更法
有些問題直接證兩線段相等不容易，可以考慮在兩線段上同時添上（或減掉）同一線段（或等量線段），再證明其和（或差）想相等。例1：如圖1，已知△abc中，∠c=90°，ch⊥ab，at平分∠a交ch於點d，de∥ab，交bc於點e，求證：
ct=be。
[分析]：乍一看此題確實有難度，因為線段ct、be既不同在乙個三角形內，又不是分別在兩個三角形內，不能用全等三角形來證明。但是，如果
注意到ct+te=be+te，就可以先證明ce=tb，即可轉化。證明：作tf⊥ab於f，∵∠c=90° ch⊥ab
∴∠3+∠bac=∠b+∠bac=90°∴∠3=∠b（同角的餘角相等）又∠4=∠2+∠3
∠5=∠1+∠b且∠1=∠2∴∠4=∠5（等量代換）∴cd=ct（等角對等邊）又∵∠1=∠2且tc⊥ac tf⊥ab
∴tc=tf（角平分線性質）∴cd=tf（等量代換）又∵de∥ab
∴∠6=∠b（兩線平行，同位角相等）又∵ch⊥ab∴de⊥cd（同上）∴∠cde=∠tfb=90°所以在△cde和△tfb中∴△cde≌△teb（aas）∴ce=tb即ct+te=te+eb∴ct=be
二、延長或擷取法
當遇到證明線段和差問題（型如a=b±c）時，可以考慮適當延長或擷取轉化為線段相等問題。
例2：已知，如圖2，在△abc中，ab=ac，∠a=100°，∠abc的平分線交ac於d，求證：ad+bd=bc。
[分析一]：從結論入手，用延長法，延長
bd到e，使de=ad，則be=bd+ad，此
時要證be=bc，故鏈結ce，需證∠e=∠ecb=80°。此不易證出。由於bd平分∠abc，想到利用角平分線可造全等三角形：
在bc上取點f，使bf=ba，鏈結df，則△bfd≌△bad，得df=ad=de，進而可計算
∠dfc=80°，∠1=∠2=60°，從而得到△dfc≌△dec。至此通過計算便可求出：∠e=∠bce=80°。
[分析二]：從結論入手，用擷取法：在bc上取點n，使bn=bd，鏈結dn，如圖3，只要證ad=nc，線段ad、nc位置關係不好，一時證不出ad=nc。由於
bd平分∠abc，想到利用角平分線構造全等三角形。在bc上取點m，使bm=ba，鏈結dm。則有△abd≌△mbd，此時易算∠dmn=80°。
在△bdn中，∠bnd==80°，故ad=dm=dn，故只須證dn=nc，即可計算∠c=∠ndc=40°得到。
三、對稱轉化法
根據對稱與不對稱的辨證關係，有時可利用軸對稱圖形中的對稱元素來解不對稱問題。
例3，在△abc中，ab=ac，邊bc的中點為d，是否有可能作乙個等邊三角形△def，使它的邊ef與bc不平行？如有可能，指出∠a的度數，如不可能，請說明理由。
[分析]：本來△abc為對稱圖形，現在在其內部作乙個等邊三角形，不
在其對稱位置上，但是要用到三角形△abc的對稱性來解決。
如圖4，假設存在這樣的三角形△def，滿足ef不平行bc，de=df且∠edf=60°，根據等腰△abc的對稱性，則點e關於ad的對稱點g必在ac邊上存在。這樣有∠bde=∠cdg=，再根據dg=df，可以作dm⊥ac於m，這樣∠mdg=∠mdf=從而2+2+∠edf=180°，所以+==60°。則在rt△dmc中，有∠c=30°，所以∠a=120°。
四、翻摺構造法
有些問題需要構造全等三角形來解決，鏈結輔助線很難入手，可以考慮利用對稱軸作圖，構造全等形。
例４，已知等腰rt△abc中，∠acb=90°，以c為頂點的45°角在△abc內旋轉，角的兩邊交ab於d、e。求證：de？=ad？+be？。
[分析]：由所證的結論容易聯想到勾股定理的形式。但這三條線段de、ad、be位於一條線上，顯然要通
過等量轉換為某乙個直角三角形的三條邊，這需要構造以de為斜邊的直角三角形。如圖5，可以考慮以cd為對稱軸把△cad翻摺為△cfd，鏈結ef，則ca=cf，∠a=∠1，ad=fd，則有△cad≌△cfd，從而∠3=∠4，又∠4+∠5=45°，則∠3+∠6=45°，進而有∠4+∠6=45°，所以∠5=∠6，因此易證△cef≌△ceb，得到∠2=∠b，eb=ef，則易證得直角三角形def中由勾股定理df？+ef？
=de？，再等量代換即可。
五、旋轉構造法
有時根據問題特徵，將圖中某個三角形沿某個頂點旋轉到另外乙個位置，產生全等三角形。
例5（同例4）[分析]：注意△abc為等腰
直角三角形，考慮將△cad沿著以c為中心
逆時針旋轉90°，構造△cbf，並鏈結ef，如圖6，則cd=cf，ad=bf，∠a=∠cbf，則易知∠ebf=90°，∠ecf=45°，所以∠dce=∠ecf，從而可證△cde≌△cfe，得ef=ed，故在rt△ebf中，可知ef？=eb？+bf？
，再由等量代換得證。下一篇
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