◆ 本章學習目標
1、了解根軌跡的基本特性和相關概念。
2、了解根軌跡的型別劃分，熟練掌握根軌跡的分類原則。
3、掌握根軌跡的繪製法則，並能夠熟練地應用到根軌跡的繪製過程中。
4、掌握閉環極點與系統效能的關係。
5、學會分析增加閉環極點與系統效能的影響。
◆ 本章教學內容
1、根軌跡的基本概念。
2、根軌跡的繪製基本規則。
3、特殊根軌跡的繪製。
4、閉環零極點與系統效能的關係。
◆ 本章重點
1、根軌跡的兩個基本條件：相角條件和幅值條件。
2、繪製根軌跡的基本規則。
3、閉環極點與系統動態效能之間的關係。
◆ 本章難點
根軌跡的繪製方法。
◆ 本章學習方法建議及參考資料
1、熟悉各名詞、術語的含義，掌握基本概念。
2、掌握典型根軌跡的繪製法則。
乙個控制系統的穩定性完全由它的特徵方程所確定，而特徵方程的根又與系統引數密切聯絡。
在上一章系統穩定性主要是討論為了取值範圍進行要求。為了更徹底的了解系統，需要知道如果系統中某個引數（例如開環增益係數）發生變化，特徵方程的根會發生什麼樣的變化，從而導致系統穩定性發生怎樣改變。要解決這樣乙個問題，反覆計算高階代數方程的根是完全不現實的。
即使採用勞斯—赫爾維茲判據也需要反覆計算勞斯陣，其過程也很複雜。尹文斯（於2023年提出了一種求解閉環特徵方程根的簡便**方法，即根軌跡法。
為了保證系統穩定而對系統中某一引數根軌跡法主要研究當系統的某一引數發生變化時，如何根據系統已知的開環傳遞函式的零極點，來確定系統的閉環特徵根的移動軌跡。
或者說，由已知的開環零極點和根軌跡增益，用**的方法確定閉環極點。
開環系統（傳遞函式）的每乙個引數從零變化到無窮大時，閉環系統特徵方程根在s平面上的軌跡。
【例】設控制系統的結構如圖6.1所示：
圖中，，則系統的開環傳遞函式為：。
其中，k為開環傳遞函式零極點形式的放大係數，也稱為根軌跡增益。
閉環傳遞函式為：
閉環特徵方程為：
可以解出該方程的根為：
，可見，、是隨引數k的變化而變化的。
改變k值時，特徵根、的變化值如表6.1所示。
表6.1
設系統結構如圖6.2.1所示，系統開環傳遞函式為，則系統的閉環傳遞函式為，系統的閉環特徵方程為。
可見，滿足開環傳遞函式等於-1的點即為閉環特徵根，也就是根軌跡上的乙個點。
已知系統開環傳遞函式的一般表示式為。
其中，為開環傳遞函式的零點；為開環傳遞函式的極點；k為根軌跡增益。
定義根軌跡方程為：
根軌跡方程表達了開環傳遞函式與閉環特徵方程序的關係，該方程的解即為閉環特徵根。
將代入根軌跡方程可知下式是乙個複數，可表示成幅值和輻角的形式，即可得表示成幅值和輻角的形式，即
① 幅值條件：
② 輻角條件：
（）滿足幅值條件和輻角條件的s值，就是特徵方程序的根，也就是閉環極點。
因為k在範圍內連續變化，總有乙個值能滿足幅值條件。所以，繪製根軌跡的依據是輻角條件。利用幅值條件計算k值比較方便，它可以作為計算k值的依據。
假設根軌跡方程知系統的特徵方程為：
因為，所以特徵方程的最高次冪n，即有n個特徵根。
當時，每個特徵根都由起點向終點連續移動，形成一條根軌跡，n個根就有n條根軌跡。
根軌跡起點定義：指時，特徵根在s平面上的位置。
此時根軌跡方程為：
當時，上式成立，即。
所以，開環傳遞函式的極點便是根軌跡的起點。
根軌跡的終點：是指時，特徵根在s平面上的位置。
（1）當時，由根軌跡方程知
，當，即時，等式成立。
即系統開環傳遞函式的零點便是根軌跡的終點。
（2）因為，所以有m條根軌跡是終止於開環傳遞函式的零點的，而另外n-m條根軌跡隨著它們都趨向於無限遠（無限零點）。
控制系統閉環特徵方程的係數是由實際物理系統的結構決定的，均為實數，所以閉環特徵根若為實數根，則分布在s平面的實軸上；若為複數，則成對出現為共軛復根。因此它們形成的根軌跡必對稱於實軸。
【例1】已知系統的開環傳遞函式為，試確定系統的根軌跡。
① 由系統開環傳遞函式：n=3，m=2，系統有3條根軌跡。
② 根軌跡起點為：
③ 根軌跡終點為：
另外條根軌跡終止於無窮遠點。
時，系統根軌跡如圖6.2.3-1所示。
（1）根軌跡左側的實數零、極點到根軌跡的向量輻角總為零；
（2）復平面上的所有零、極點是共軛的，它們到實軸上根軌跡的向量輻角之和也總為零；
（3）根軌跡右側的實數零、極點到根軌跡的向量輻角均為180度。
在實軸上根軌跡分支存在的區間的右側，開環零點、極點數目的總和為奇數。
當時，有n-m條根軌跡終止於無窮遠點，其方向需要由根軌跡的漸近線來確定。
（1）漸近線與實軸的夾角
設無窮遠點是根軌跡上的點，記為，則它到各開環零、極點的向量與實軸正方向的夾角可看作都是相等的，記為。應滿足相角方程：即則
當增大時，將重複出現。
顯然漸近線的數目等於終點在無窮遠點的根軌跡的數目。
（2）漸近線與實軸的交點
若無窮遠點是根軌跡上的點，則可以認為平面上的所有有限開環零、極點到它的向量長度均相等，即對無窮遠閉環極點來說，所有的開環零、極點匯集成乙個點，用表示。它就是所求漸近線與實軸的交點。
根據上述描述，由根軌跡方程，利用二次項定理，可求出：
【例2】已知系統開環傳遞函式，試繪製系統的根軌跡。
① ，，所以相應有3條根軌跡，且全部趨於無窮遠點；
② 根軌跡的起點與終點
起點：，，
終點：無窮遠點
③ 實軸上[-1，0]和[-∞，-3]區間段為實軸上的根軌跡。
④ 根軌跡的漸進線
夾角：交點：
如圖6.2.3-2所示。
（1）定義：根軌跡在實軸相交後進入復平面的點稱為根軌跡的分離點，而根軌跡由復平面進入實軸的交匯點稱為根軌跡的會合點。
（2）特點：分離點與會合點實際上是閉環特徵方程的重根。常見的分離點和會合點一般都在實軸上，即系統的特徵根中有實數重根，如圖6.2.3-3所示。
（3）求解方法：鑑於分離點和會合點的實質就是特徵方程的重根，因此可用求解特徵方程重根的方法對它們進行求解。
設系統的開環傳遞函式為
閉環特徵方程為
由代數方程序解的性質可知，當且時，特徵方程有重根存在。化簡上述方程可得：
上式即為確定各個分離點和會合點的方程。
【例3】已知系統開環傳遞函式，求其根軌跡的分離點或會合點。
由系統的開環傳遞函式
得，可求出
由於的右邊有1個極點，而右邊有1個極點，因此，位於根軌跡上，所以它是分離點。而不在根軌跡上，故捨去。
所謂出射角指根軌跡在複數開環極點（根軌跡起點）處的切線與正實軸的夾角。
所謂入射角指根軌跡在複數開環零點（根軌跡終點）處的切線與正實軸的夾角。
根軌跡出射角的一般公式：
式中，為待求開環複數極點的出射角；為其它開環極點到的向量相角；為開環零點到極點的向量相角。
同理，可得計算入射角的公式：
【例4】已知系統開環傳遞函式，試繪製系統的根軌跡。
① ，，系統有兩條根軌跡，且有條趨於無窮遠點。
② 根軌跡的起點為：,，根軌跡的終點為：。
③ 實軸上的根軌跡是（-∞，-1]區間段。
④ 根軌跡有一條漸近線，為負實軸。
⑤ 根軌跡的會合點，據公式得：
可求出方程的兩個根為：，
根據前面的分析可知，不在根軌跡上，故捨去；是根軌跡在實軸上的會合點。
⑥ 根軌跡的出射角
因，，可求出：
根軌跡如圖6.2.3-4所示。
有兩種方法可以求解根軌跡與虛軸的交點：
（1）勞斯判據法：根據勞斯判據求臨界穩定時的值及根軌跡與虛軸交點的值；
（2）虛根帶入法：將直接代入閉環特徵方程，令其實部和虛部分別為零，從而求出相應的和。
【例5】已知系統開環傳遞函式，試確定系統根軌跡與虛軸的交點。
由系統的開環傳遞函式得系統閉環特徵方程
① 根據勞斯判據，特徵方程的勞斯表為：
由勞斯表可知，當時，行的所有元素均為零。
按行元素組成輔助方程：
當時，解得
即例題所示系統根軌跡中兩條穿越虛軸的根軌跡分支與虛軸的交點為，對應的值為12。
② 將代入特徵方程：
合併整理，有
即當時，系統開環極點之和等於閉環極點之和。對於乙個給定的系統來說，開環極點之和是乙個常數，那麼當根軌跡增益變化時，雖然每個閉環極點都會隨之變化，但它們之和卻恆等於開環極點之和。所以在平面上，如果有一些閉環極點往左移動，則必有另外一些閉環極點向右移動，以保持上式成立。
這一性質可用來估計根軌跡分支的變化趨勢。
第3章時域分析法答案
1.1 系統的閉環傳遞函式 2 系統的單位脈衝函式 2.系統的單位階躍響應和單位斜坡響應分別為 3.系統的單位階躍響應為 4.當k 10時 系統的阻尼比 無阻尼自然頻率 單位階躍響應的超調量 峰值時間 當k 20時 系統的阻尼比 無阻尼自然頻率 單位階躍響應的超調量 峰值時間 5.1 不穩定 2 穩...
經濟法第6章答案
要約承諾 2.接受貨幣不動產所在地履行義務 3.國家標準行業標準 4.交付時原 新 新 原 5.當事人的名稱或者姓名和住所標的數量質量價款或者報酬履行期限 地點和方式違約責任解決爭議的方法 6.義務人民幣 7.返還定金雙倍返還 8.平等自願公平 誠實信用守法 9.人民法院仲裁機構 10.因過錯不履行...
第八章電位分析法簡介
一 選擇題 1 在電勢分析法中作為指示電極，其電勢應與被測離子的濃度 a.無關 b.成正比 c.與對數成正比 d.符合nernst公式的關係 d 2 在電勢分析法中，作為參比電極，其要求之一是電極 a.電勢應等於零b.電勢與溫度無關 c.電勢在一定條件下為定值 d.電勢隨試液中被測離子活度變化而變化...