第一節普通需求函式、間接需求函式和支出函式
一、普通需求函式又稱為馬歇爾需求函式、瓦爾拉斯需求函式
(其中，)
求： 構造令令
例如：本科的求是類似的。
二、間接效用函式
說明：預算線會變化，如p,y變動則預算線變動，進而的均衡點變動即與p,y之間存在一定的函式關係。
1. 定義間接效用函式為：
意義：通過控制**（p）和收入（y）來控制消費，即通過**政策（**改革）和收入分配政策來刺激或抑制消費。
2. 間接效用函式的性質
（1）（2）自己看
（3）（4）（5）下面來分析
10介紹包絡定理：
證明：引數最優化問題)
其中x為這一問題的解，一般地，最優解依賴於引數a,故x=x(a),將x(a)代入目標函式，且計為，稱為為和最優解相對應的目標值。
可以證明：
因為x(a)是引數最優化的解，所以）
於是所以：
20求關於y嚴格遞增，關於p嚴格遞減。
因為所以：
有因為，﹥0，
1)即求關於y嚴格遞增的結論成立。
利用相同的方法，設則：
2)即關於關於p嚴格遞減。
30羅爾定理的證明
羅爾定理的證明：求解
注意：這是普通需求函式與間接效用函式之間的關係；而且給出了一種理論上推導普通需求函式的公式。
關於羅爾定理的更規範的證明
設是普通需求函式，為間接效用函式則：
證明：因為：
所以：又因為：兩邊對微分則：
將（2）代入（1）得：
然後對關於y的微分並利用效用最大化的一階條件有：
又因為 ）故。
三、支出函式
1.初級知識：（1）m，p均不變，選擇x,y達到；
2），p既定，選擇x,y達到；
2.支出函式的定義：
即選擇x使效用達到u，並且使達到最小，記為的需求函式，稱為希克斯需求函式。
3. 希克斯需求函式又稱為補償需求函式（不可觀察的）
（1）關於真實收入不變定義：
a.希克斯的定義：在**變動後，欲維持原有滿足程度所必須付出的最小金額。（所以只有替代效應，參見平新喬30頁）；
b.斯勒茨基的定義：在**變動後，欲維持原有購買組合所必須付出的金額。（替代效應+收入效應，參見本科用高鴻業習題冊27頁）；
(2)利用謝潑特引理求解希克斯需求函式
條件：連續且嚴格遞增，那麼當，可微則有：
證明：構造根據包羅定理
複習題：消費效用函式為
（1） 求馬歇爾需求函式；
（2） 求希克斯需求函式；
（3） 求支出函式；
（4） 求間接效用函式；
第二節斯勒茨基方程
一、效用最大化問題與支出最小化問題的關係
1.兩個基本命題
（模型1
（模型2）
命題1：前提條件滿足效用偏好公理且有解的情況，設是模型1的解，記，則也是模型2的解。
證明：假設結論不真，設為模型2的解，則有且。由於區域性非飽和性假定，存在某個與足夠接近的商品束，使得且有。這與是模型1的解矛盾。
命題2：設是模型2的解，記為，並且設則也是模型1的解。
證明：假設結論不真，設為模型1的解，則有且。注意到和偏好連續性，則存在，使且，這與是模型2的解矛盾。
2.四個重要等式
（1）；
因為根據命題1，這一等式說明在收入為y的水平上求得的普通需求函式就是在效用為條件下求的補償需求函式。
（2）；
因為根據命題2，這一等式說明在效用水平為u的條件下求得的補償需求函式就是消費者在收入為條件下得到的普通需求函式。
（3）；
因為命題1，，且時，有故。
（4）；
因為命題2，，且時，有，故有。
說明：西方經濟理論認為，補償需求函式「不可觀測的原因」，在於它依賴於效用，而效用是不能直接觀察到的。由於普通需求函式所依賴的**和收入是可觀測到的，所以普通需求函式被認為是「可觀測到的」。
二、斯勒茨基方程
注意：1.當一種商品的**變化，常常會引起兩個方面的相應變化：
一是引起商品的相對**發生變化：消費者總是增加相對便宜的商品購買，減少相對昂貴的商品購買，這就是所謂的替代效應。二是在名義收入不變條件下，引起消費者實際收入水平發生變化，進而引起消費者對該商品需求量的變化，這就是所謂的收入效應。
2.關於真實收入不變定義
a.希克斯的定義：在**變動後，欲維持原有滿足程度所必須付出的最小金額。
b.斯勒茨基的定義：在**變動後，欲維持原有購買組合所必須付出的金額。
因此，就有與希克斯所對應的替代效應和收入效應，和與斯勒茨基所對應的替代效應和收入效應之分。
假定y的**不變，而x的**下降則：分析
以嚴格的形式給出了當一種商品**變動時，商品需求量（既可以是**發生變動的那種商品，也可以是其他商品）變動的總效應可以被分解為所謂替代效應和收入效應。
斯拉茲基方程式的數學推導：
即:所以，**對消費量的總效應等於替代效應與收入效應之和。
2. 斯拉茨基方程式的說明（參見筆記）
以兩種商品為例，並且只考察商品自身**的變動對該商品需求量的影響。
，近似計算
畫圖分析：注意斯拉茨基方程式有兩種定義，參見範里安微觀經濟學現代觀點p194頁
和范里安的微觀經濟分析。
當**變動非常小的時候，則斯拉茨基的替代效應與希克斯的替代效應相等，
故用這種常見的斯拉茨基方程，其優點是揭示了可以觀察的馬歇爾需求函式與不可
觀察的希克斯需求函式在面臨**變動時的相互關係。
3.關於斯拉茨基補償和希克斯補償的計算（參見34頁）
（1）**p變化要求保持原有的購買組合不變則需要補償多少收入。
（2）**p變化要求保持原有的效用水平不變則需要補償多少收入。
附本科內容：**效應
一、**效應的含義與分解
由某種商品的**變動引起的該商品需求量的變動被稱為**效應(price effect)。**效應是替代效應(substitution effect)和收入效應(income effect)綜合作用的結果。
當一種商品的**變化，常常會引起兩個方面的相應變化：一是引起商品的相對**（或商品之間的交換比率）發生變化：消費者總是增加相對便宜的商品購買，減少相對昂貴的商品購買。
二是引起消費者的實際收入水平變化，進而引起消費者對該商品需求量的變化。
假設，當消費者購買兩種商品x、y，如果商品x的**下降時，使得商品x相對於商品y更加便宜了。商品之間相對**的改變，將影響消費者增加相對降價商品x的購買量，而減少相對漲價商品y的購買量。即用商品x的消費來代替一部分商品y的消費。
這就是替代效應。另一方面，即使消費者的貨幣收入沒有發生變化，但其實際購買力增強了，從而使消費者達到了更高的效用水平，相當於實際收入水平提高了，這就是收入效應。顯然，替代效應不考慮實際收入變動對商品需求的影響，只考慮商品的相對**變動對商品需求的影響；而收入效應正是不考慮商品相對**變動對商品需求的影響，只考慮實際收入變動對商品需求的影響。
二、替代效應
替代效應是在商品的相對**發生變化，而令消費者的實際收入不變情況下，商品需求量的變化。這裡所說的實際收入不變，怎麼來衡量，歷史上出現過兩種觀點，所以替代效應有希克斯替代效應與斯勒茨基替代效應之分，分別以兩位經濟學家希克斯與斯勒茨基的名字命名的。
希克斯替代效應是指在其他因素不變，當某種商品的**變動時，在商品相對**變化後，在保持消費者實際收入不變(這裡的實際收入不變是指使他現在獲得的效用與**變動以前曾經獲得的效用無差異)情況下所引起的消費者對該商品需求量的變動。
斯勒茨基替代效應是指在其他因素不變，當某種商品的**變動時，在商品相對**變化後，在保持消費者實際收入不變(這裡的實際收入不變是指消費者在**變化後能夠買得起他想要購買的**變動以前的商品購買量)情況下所引起消費者對該商品需求量的變動。
利用下圖來討論這兩種替代效應。
如圖所示，最初的預算線ab與無差異曲線u1相切於e1點，商品x的需求量為x1。商品x的**下降，改變了兩種商品的相對**比率，從而改變了消費者以商品x替代商品y的比率，消費者的預算線由ab移至ab1，並與無差異曲線u2相切於e2點。消費者對商品x的需求量由x1上公升到x2。
把由**變化而產生的總需求量的變化記為x1x2。
為了從x1x2中分解出**下降的替代效應，必須剔除實際收入的變動對需求的影響，即在消費者的實際收入保持不變的前提下對**影響進行觀察。如何才算是實際收入不變呢?
圖**效應及其分解：假定我們想在x商品降價後維持消費者的實際收入不變。按照希克斯替代效應中所定義的實際收入，應該使消費者在新的**比率下回到x商品降價前的無差異曲線上，通過畫一條與ab1相平行、並與原無差異曲線u1相切的預算線（又稱補償預算線）可以保證這種意義上的實際收入不變。
圖中sm便是我們所需要的預算線，sm與u1相切於e4點，與e4點相對應的x商品的購買量為x4。x4-x1這便是希克斯替代效應。
按照斯勒茨基替代效應中所定義的實際收入，若想在x商品降價後維持消費者的實際收入不變，應該使消費者在新的**比率下能夠購買他在降價前所能購買的商品數量，即能夠購買圖中e1點所表示的商品數量。通過畫一條與預算線ab1相平行、並且過e1點的預算線可以保證這種意義上的實際收入不變。圖中的tn線便是我們所需要的預算線。
e3和一條高於無差異曲線u1、低於無差異曲線u2的無差異曲線u3相切，切點為e3。與e3點相對應的x商品的購買量為x3。x3-x1為斯勒茨基替代效應。
由於x3大於x4，所以斯勒茨基替代效應大於希克斯替代效應。
三、收入效應
一種商品**變化的收入效應是指在其他因素不變，當某種商品的**變動時，將考察替代效應時所調整的消費者的收入恢復以後，消費者對該商品需求量的變動。在圖中，與希克斯替代效應相對應的收入效應是x2-x4。與斯勒茨基替代效應相對應的收入效應是x2-x3。
這純粹是由實際收入的變化引起的。
第三節顯示偏好理論
前面的研究：偏好關係----效用函式----需求函式（以無差異曲線為基礎，
以效用u為基準）；
今天的研究：2023年薩繆爾森認為不需要知道效用函式也可以研究人們的需求情況。
一、顯示性弱公理（p47頁）
馮 諾依曼 摩根斯坦關於不確定性條件下的選擇公理
馮.諾依曼 摩根斯坦公理擴充套件了標準的消費者理論中的定理。它假設 1 每乙個人都能夠對構成博弈的產出進行排序。博弈只是產出的一種概率分布。因此 只是乙個簡單的排序，包含兩種可能的產出和以及各自的概率和。2 每乙個人對博弈的排序都具有傳遞性。因此，當人們面對至少兩種博弈時，他們會選擇或者。這裡的r表...
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