第五章相交線與平行線
一、本章知識結構圖：
二、知識定義回顧
鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
對頂角：乙個角的兩邊分別是另乙個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
同位角、內錯角、同旁內角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關係的一對角叫做同位角。
內錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。
命題：具有判斷性語氣的陳述句叫命題。
正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題；使用頻繁而且非常重要的真命題稱為定理。
平移：在平面內，將乙個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。
平移不改變圖形的形狀和大小，僅改變了圖形的位置。所以平移前後圖形的周長與面積都不變。
對應點：平移後得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
平移時對應點性質：連線平移前後對應點的線段平行（或共線）且相等。
三、定理與性質
對頂角的性質：對頂角相等。
垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
重要結論：1.鄰補角角平分線互相垂直；2，兩直線平行，同旁內角角平分線互相垂直。
平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。
平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
平行線的判定：
判定1：同位角相等，兩直線平行。
判定2：內錯角相等，兩直線平行。
判定3：同旁內角相等，兩直線平行。
重要結論：1. 兩直線平行，內錯角角平分線互相平行；2，兩直線平行，同位角角平分線互相平行。
四、例題與習題:
一、對頂角和鄰補角：1.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的圖形有( )毛
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
2．如圖1-1，直線ab、cd、ef都經過點o，
圖中有（ ）對對頂角。
3．如圖1-2，若∠aob與∠boc是一對鄰補角，od平分∠aob，
oe在∠boc內部，並且∠boe=∠coe，∠doe=72°。
求∠coe的度數。
二、垂線：
已知：如圖，在一條公路的兩側有a、b兩個村莊.
<1>現在鄉**為民服務，沿公路開通公交汽車，並在路邊修建乙個公共汽車站p，同時修建車站p到a、b兩個村莊的道路，並要求修建的道路之和最短，請你設計出車站的位置，在圖中畫出點p的位置，(保留作圖的痕跡)．並在後面的橫線上用一句話說明道理
<2>為方便機動車出行，a村計畫自己出資修建一條由本村直達公路的機動車專用道路，你能幫助a村節省資金，設計出最短的道路嗎？，請在圖中畫出你設計修建的最短道路，並在後面的橫線上用一句話說明道理
三、同位角、內錯角和同旁內角的判斷
1．如圖3-1，按各角的位置，下列判斷錯誤的是（ ）
（a）∠1與∠2是同旁內角 （b）∠3與∠4是內錯角
（c）∠5與∠6是同旁內角 （d）∠5與∠8是同位角
2.如圖3-2，與∠efb構成內錯角的是_ ___,與∠feb構成同旁內角的是_ ___.
四、平行線的判定和性質：
1.如圖4-1， 若∠3=∠4，則
若ab∥cd,則
2.已知兩個角的兩邊分別平行，其中乙個角為52°，
則另乙個角為_______.
3．兩條平行直線被第三條直線所截時，產生的八個角中，
角平分線互相平行的兩個角是（ ）
a.同位角 b.同旁內角
c.內錯角 d. 同位角或內錯角
4．如圖4-2，要說明 ab∥cd，需要什麼條件？
試把所有可能的情況寫出來，並說明理由。
5．如圖1，填空並在括號中填理由：
（1）由∠abd =∠cdb得
（2）由∠cad =∠acb得
（3）由∠cba +∠bad = 180°得
6．如圖2，盡可能多地寫出直線l1∥l2的條件
7．如圖3，盡可能地寫出能判定ab∥cd的條件來
8．如圖4，若a=3，則若2=e，則若180°，則
9．如圖4-3，ef⊥gf，垂足為f，∠aef=150°，∠dgf=60°。試判斷ab和cd的位置關係，並說明理由。
10．如圖4-4，ab∥de，∠abc=70°，∠cde=147°，求∠c的度數． ( )
11．如圖4-5，cd∥be，則∠2+∠3∠１的度數等於多少？( )
12．如圖4-6：ab∥cd，∠abe=∠dcf，求證：be∥cf．
五、平行線的應用：
1.某人從a點出發向北偏東60°方向走了10公尺，到達b點，再從b點方向向南偏西15°方向走了10公尺，到達c點，則∠abc等於（ ）
a.45° b.75° c.105° d.135°
2．一位學員練習駕駛汽車，發現兩次拐彎後，行駛方向與原來的方向相同，這兩次的拐彎角度可能是（ ）
a第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
b第一次向左拐50°，第二次向右拐50°
c 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
d第一次向右拐50°，第二次向右拐50°
3．如圖5-2,把乙個長方形紙片沿ef摺疊後,點d、c分別落在d′、c′的位置，
若∠efb＝65°，則∠aed′等於
第六章實數
本章的知識網路結構：
知識梳理
一．數的開方主要知識點：
平方根：
1.如果乙個數x的平方等於a，那麼，這個數x就叫做a的平方根；也即，當時，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：
2.當a=0時，它的平方根只有乙個，也就是0本身；
3.當a＞0時，也就是a為正數時，它有兩個平方根，且它們是互為相反數，通常記做：。
當a＜0時，也即a為負數時，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，則x= ；的平方根是
（4）當x時，有意義。
（5）乙個正數的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個正數是多少？
【算術平方根】：
1.如果乙個正數x的平方等於a，即，那麼，這個正數x就叫做a的算術平方根，記為：「」，讀作，「根號a」，其中，a稱為被開方數。特別規定：0的算術平方根仍然為0。
2.算術平方根的性質：具有雙重非負性，即：。
3.算術平方根與平方根的關係：算術平方根是平方根中正的乙個值，它與它的相反數共同構成了平方根。
因此，算術平方根只有乙個值，並且是非負數，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。
例2.（1）下列說法正確的是
a．1的立方根是b． c.的平方根是d.0沒有平方根；
（2）下列各式正確的是（ ）
a. b. c. d.
（3）的算術平方根是
（4）若有意義，則
（5）已知△abc的三邊分別是且滿足，求c的取值範圍。
（6）已知：a=是的算術平方根，b=是的立方根。求a－b的平方根。
（7）（提高題）如果x、y分別是4－的整數部分和小數部分。求x－y的值.
【立方根】
1.如果x的立方等於a，那麼，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：
，讀作，3次根號a。注意：這裡的3表示的是開根的次數。
一般的，平方根可以省寫根的次數，但是，當根的次數在兩次以上的時候，則不能省略。
2.平方根與立方根：每個數都有立方根,並且乙個數只有乙個立方根；但是，並不是每個數都有平方根，只有非負數才能有平方根。
例3.（1）64的立方根是
（2）若，則b等於（ ）
a. 1000000 b. 1000 c. 10 d. 10000
（3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正確的有
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
【無理數】
1.無限不迴圈小數的小數叫做無理數；它必須滿足「無限」以及「不迴圈」這兩個條件。在初中階段，無理數的表現形式主要包含下列幾種：
（1）特殊意義的數，如：圓周率以及含有的一些數，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數，如:
等；（3）特殊結構的數：如：2.
010 010 001 000 01…（兩個1之間依次多1個0）等。應當要注意的是：帶根號的數不一定是無理數，如：
等；無理數也不一定帶根號，如：
2. 有理數與無理數的區別：（1）有理數指的是有限小數和無限迴圈小數，而無理數則是無限不迴圈小數；（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。
例4.（1）下列各數：①3.
141、②0.333330.3030003000003……（相鄰兩個3之間0的個數逐次增加2）、其中是有理數的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序號）
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