中考題型之九：猜想型問題
【猜想型問題的特點】
猜想是對研究的物件或問題，進行認真細緻的觀察，通過實驗、分析、比較、聯想、模擬、歸納等，依據已有的材料知識，自己「發現」數學結論，作出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維方法。現代認知理論認為，學習是主體主動的意義建構活動，是主體頭腦裡建立和發展數學認知結構的過程，是數學活動及其經驗內化的過程，而猜想是對抽象化的、形式化的數學進行思辨過程。
【猜想型問題的解決方法】
通過動手實踐、自主探索，動腦獨立思考，經過實驗、操作、觀察、模擬、歸納、猜想等活動，自己「發現」數學結論。同時，需要將猜想與動手操作有機的結合起來，並對此探索出來的結論進行證明。依據「操作-猜想」與體驗教學的相通性，根據自己的觀察實驗，在感性認知的基礎上提出合理的猜想，在「手腦並用」中體會「觀察 -- 聯想 -- 模擬 -- 猜想」的思想方法，猜想也不是直觀而蒼白無力的主觀判斷，而是經過了觀察、動手操作、測量，運用了測量歸納、模擬驗證等數學思想方法，得出來的符合一定的經驗與事實的數學結論。
【猜想型問題的分類】
這一類題目，主要集中在數式規律 、圖形規律 、數型規律 、圖形中的規律探索這幾個方面，因而，根據其特點，我們將其分為：數式規律 、圖形規律 、數型規律 、**圖形中的規律這幾類。
【例1】（2010湖北荊州中考）如圖，將正方形abcd中的△abd繞對稱中心o旋轉至△gef的位置，ef交ab於m，gf交bd於n．請猜
想bm與fn有怎樣的數量關係？並證明你的結論．
解：猜想：bm=fn
證明：在正方形abcd中，bd為對角線，o為對稱中心,
∴bo=do ,∠bda=∠dba=45°
∵△gef為△abd繞o點旋轉所得
∴fo=do, ∠f=∠bda
∴ob=of ∠obm=∠ofn
在 △omb和△onf中
∴△obm≌△ofn ∴bm=fn
【例2】（2010福建南平中考）如圖1，在△abc中，ab=bc，p為ab邊上一點，連線cp，以pa、pc為鄰邊作□apcd，ac與pd相交於點e，已知∠abc=∠aep=α（0°<α<90°）.
（1）求證：∠eap=∠epa；
（2）□apcd是否為矩形？請說明理由；
（3）如圖2，f為bc中點，連線fp，將∠aep繞點e順時針旋轉適當的角度，得到∠men（點m、n分別是∠men的兩邊與ba、fp延長線的交點）.猜想線段em與en之間的數量關係，並證明你的結論.
(1)證明：在δabc和δaep中
∵∠abc=∠aep，∠bac=∠eap，∴ ∠acb=∠ape
在δabc中，ab=bc ，∴∠acb=∠bac， ∴ ∠epa=∠eap
(2) 答：□ apcd是矩形
∵四邊形apcd是平行四邊形， ∴ ac=2ea, pd=2ep
∵ 由（1）知 ∠epa=∠eap，∴ ea=ep
則 ac=pd，∴□apcd是矩形
(3)答： em=en
∵ea=ep ∴ ∠epa=90°－α
∴∠eam=180°-∠epa=180°-(90°-α)=90°+α
由（2）知∠cpb=90°,f是bc的中點，∴ fp=fb
∴∠fpb=∠abc=α
∴ ∠epn=∠epa+∠apn=∠epa+∠fpb=90°-α+α=90°+α
∴ ∠eam=∠epn
∵ ∠aep繞點e順時針旋轉適當的角度，得到∠men
∴ ∠aep=∠men
∴∠aep- ∠aen=∠men-∠aen 即 ∠mea=∠nep
∴ δeam≌δepn ∴ em=en
【例3】（2010常德中考）如圖10，若四邊形abcd、四邊形cfed都是正方形，顯然圖中有ag=ce，ag⊥ce.（1）當正方形gfed繞d旋轉到如圖11的位置時，
ag=ce是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（2）當正方形gfed繞d旋轉到如圖12的位置時，延長ce交ag於h，交ad於m.
①求證：ag⊥ch;②當ad=4，dg=時，求ch的長。
解：（1）成立．
四邊形、四邊形是正方形，
∠∠.90
（2）①類似（1）可得△△，∴∠1＝∠2
又即解法一: 過作於,
由題意有,
∴，則∠1＝.而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴ ，即.
在rt中，＝＝,
而∽,∴, 即, ∴.
連線，顯然有,
∴.解法二；（研究四邊形acdg的面積）
過作於,
由題意有,
∴,.而以cd為底邊的三角形cdg的高=pd=1,
,∴4×1+4×4=×ch+4 ×1
【例4】實驗與推理如圖14―1，14―2，四邊形abcd是正方形，m是ab延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點d，且直角頂點e在ab邊上滑動（點e不與點a，b重合），另一條直角邊與∠cbm的平分線bf相交於點f。
⑴如圖14―1，當點e在ab邊的中點位置時：
①通過測量de，ef的長度，猜想de與ef滿足的數量關係是
②連線點e與ad邊的中點n，猜想ne與bf滿足的數量關係是
③請證明你的上述兩猜想。
⑵如圖14―2，當點e在ab邊上的任意位置時，請你在ad邊上找到一點n，使得ne=bf，進而猜想此時de與ef有怎樣的數量關係。
解：（1）①de=ef；②ne=bf。
③證明：∵四邊形abcd是正方形，n，e分別為ad，ab的中點，∴dn=eb
∵bf平分∠cbm，an=ae，∴∠dne=∠ebf=90°+45°=135°
∵∠nde+∠dea=90°，∠bef+∠dea=90°，∴∠nde=∠bef
∴△dne≌△ebf，∴ de=ef，ne=bf
（2）在da邊上擷取dn=eb（或擷取an=ae），鏈結ne，
點n就使得ne=bf成立（圖略）此時，de=ef。
【例5】（2010隨州中考）某同學從家裡出發，騎自行車上學時，速度v（公尺/秒）
與時間t（秒）的關係如圖a，a（10，5），b（130，5），c（135，0）.
（1）求該同學騎自行車上學途中的速度v與時間t的函式關係式；
（2）計算該同學從家到學校的路程（提示：在oa和bc段的運動過程中的
平均速度分別等於它們中點時刻的速度，路程＝平均速度×時間）；
（3）如圖b，直線x＝t（0≤t≤135），與圖a的圖象相交於p、q，用字母s表示圖中陰影部分面積，試求s與t的函式關係式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t時刻，該同學離開家所超過的路程與此時s的數量關係
解：由題意得：
. （1）
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（公尺）
（3）(4) 相等的關係
【例6】在△abc中，d為bc邊的中點，e為ac邊上的任意一點，be交ad於點o．某學生在研究這一問題時，發現了如下的事實：
(1)當時，有(如圖3)；
(2)當時，有(如圖4)；
圖3圖4圖5圖6
(3)當時，有(如圖5)；
在圖6中，當時，參照上述研究結論，請你猜想用n表示的一般結論，並給出證明(其中n是正整數)．
解：由題意，可以猜想：當時， 有成立．
證明：可先過d作df∥be，交ac於點f，易知f是bc的中點．
由，可知，從而．
由△aoe∽△ade，有．
【例7】已知⊙o表示一圓形紙板，根據要求，需通過多次剪裁，把它剪成
若干個扇形面，操作過程如下：第1次剪裁，將圓形紙板等分為4個扇形；第2
次剪裁，將上次得到的扇形麵中的乙個再等分成4個扇形；以後按第2次剪裁的
作法進行下去．
(1)請你在⊙o中，用尺規作出第2次剪裁後得到的7個扇形(保留痕跡，不寫作法)．
(2)請你通過操作和猜想，將第3、第4和第n次裁剪後所得扇形的總個數(s)填入下表．
請你推斷，能不能按上述操作過程，將原來的圓形紙板剪成33個扇形？為什麼？
解：①略 ②10，13，3n＋1
③因為s＝33．
由②得3n＋1＝33，n＝10．
因為n應為正整數，所以不能將原來的扇形紙片剪成33個扇形．
【例7】某學習小組在探索「各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形」時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形．
如圖1，△abc是正三角形，＝＝，可以證明六邊形adbecf的各內角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形．我想，邊數是7時，它可能也是正多邊形．
……圖1圖2
(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等．
(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形abcdefg(如圖9)是正七邊形(不必寫已知、求證)．
(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．
解：(1)由圖知∠afc對．
∵ ＝，
∴ ∠afc＝∠daf．
同理可證，其餘各角都等於∠afc．
∴ 圖8中六邊形各內角相等．
(2)∵ ∠a對，∠b對，
又∵ ∠a＝∠b，∴ ＝．∴ ＝．
∴ 七邊形abcdefg是正七邊形．
(3)猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，…時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．
【例8】已知：半徑不等的⊙o1與⊙o2相切於點p，直線ab、cd都經過點p，並且ab分別交⊙o1、⊙o2於a、b兩點，cd分別交⊙o1、⊙o2於c、d兩點(點a、b、c、d、p互不重合)，鏈結ac和bd．
(1)請根據題意畫出圖形；
(2)根據你所畫的圖形，寫出乙個與題設有關的正確結論，並證明這個結論(結論中不能出現題設以外的其他字母)．
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