1．如圖9，在平面直角座標系中，二次函式的圖象的頂點為d點，與y軸交於c點，與x軸交於a、b兩點， a點在原點的左側，b點的座標為（3，0），
ob＝oc ，tan∠aco＝．
（1）求這個二次函式的表示式．
（2）經過c、d兩點的直線，與x軸交於點e，在該拋物線上是否存在這樣的點f，使以點a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點f的座標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行於x軸的直線與該拋物線交於m、n兩點，且以mn為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖10，若點g（2，y）是該拋物線上一點，點p是直線ag下方的拋物線上一動點，當點p運動到什麼位置時，△apg的面積最大？求出此時p點的座標和△apg的最大面積.
2、（本小題滿分12分）
已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點a在x軸上，與y軸的交點為b（0，1），且b=－4ac．
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 在拋物線上是否存在一點c，使以bc為直徑的圓經過拋物線的頂點a？若不存在說明理由；若存在，求出點c的座標，並求出此時圓的圓心點p的座標；
(3) 根據(2)小題的結論，你發現b、p、c三點的橫座標之間、縱座標之間分別有何關係?
3、.如圖，六邊形abcdef內接於半徑為r（常數）的⊙o，其中ad為直徑，且ab=cd=de=fa.
（1）當∠bad=75時，求的長；
（2）求證：bc∥ad∥fe；
（3）設ab=，求六邊形abcdef的周長l關於的函式關係式，並指出為何值時，l取得最大值.
4、我們把乙個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為「蛋圓」，如果一條直線與「蛋圓」只有乙個交點，那麼這條直線叫做「蛋圓」的切線.
如圖12，點a、b、c、d分別是「蛋圓」與座標軸的交點，已知點d的座標為(0，-3)，ab為半圓的直徑，半圓圓心m的座標為(1,0)，半圓半徑為2.
(1) 請你求出「蛋圓」拋物線部分的解析式，並寫出自變數的取值範圍；
(2)你能求出經過點c的「蛋圓」切線的解析式嗎？試試看；
(3)開動腦筋想一想，相信你能求出經過點d的「蛋圓」切線的解析式.
5、（本題滿分12分）
如圖，⊙的半徑為，正方形頂點座標為，頂點在⊙上運動．
(1)當點運動到與點、在同一條直線上時,試證明直線與⊙相切；
(2)當直線與⊙相切時，求所在直線對應的函式關係式；
(3)設點的橫座標為，正方形的面積為，求與之間的函式關係式，並求出的最大值與最小值．
1．（1）方法一：由已知得：c（0，－3），a（－1，0） …1分
將a、b、c三點的座標代入得2分
解得3分
所以這個二次函式的表示式為3分
方法二：由已知得：c（0，－3），a（－1，01分
設該表示式為2分
將c點的座標代入得3分
所以這個二次函式的表示式為3分
（注：表示式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）
（2）方法一：存在，f點的座標為（2，－34分
理由：易得d（1，－4），所以直線cd的解析式為：
∴e點的座標為（－3，04分
由a、c、e、f四點的座標得：ae＝cf＝2，ae∥cf
∴以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點f，座標為（2，－35分
方法二：易得d（1，－4），所以直線cd的解析式為：
∴e點的座標為（－3，04分
∵以a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形
∴f點的座標為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入拋物線的表示式檢驗，只有（2，－3）符合
∴存在點f，座標為（2，－35分
（3）如圖，①當直線mn在x軸上方時，設圓的半徑為r（r>0），則n（r+1，r），
代入拋物線的表示式，解得 …………6分
②當直線mn在x軸下方時，設圓的半徑為r（r>0），
則n（r+1，－r），
代入拋物線的表示式，解得 ………7分
∴圓的半徑為或． ……………7分
（4）過點p作y軸的平行線與ag交於點q，
易得g（2，－3），直線ag為．……………8分
設p（x，），則q（x，－x－1），pq．
9分當時，△apg的面積最大
此時p點的座標為10分
2、解：(1)由拋物線過b(0,1) 得c=1．
又b=-4ac, 頂點a(-,0),
2c=2．∴a(2,02分
將a點座標代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0 ，
∴ 解得a =,b =-1.
故拋物線的解析式為y=x2-x+14分
另解: 由拋物線過b(0,1) 得c=1．又b2-4ac=0, b=-4ac，∴b=-1． ………2分
∴a=,故y=x-x+14分
(2)假設符合題意的點c存在，其座標為c(x，y
作cd⊥x軸於d ,連線ab、ac．
∵a在以bc為直徑的圓上,∴∠bac=90°．
aob∽△cda．
∴ob·cd=oa·ad．
即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-46分
由解得x1=10,x2=2．
∴符合題意的點c存在，且座標為 (10,16)，或(2,08分
∵p為圓心，∴p為bc中點．
當點c座標為 (10,16)時，取od中點p1 ，連pp1 , 則pp1為梯形obcd中位線．
∴pp1= (ob+cd)=．∵d (10,0), ∴p1 (5,0), ∴p (5,)．
當點c座標為 (2,0)時, 取oa中點p2 ，連pp2 , 則pp2為△oab的中位線．
∴pp2=ob=．∵a (2,0), ∴p2(1,0), ∴p (1,)．
故點p座標為(5,),或(110分
(3)設b、p、c三點的座標為b(x1,y1), p(x2,y2), c(x3,y3)，由(2)可知：
12分3、(1)鏈結ob、oc，由∠bad=75，oa=ob知∠aob=30， （1分）
∵ab=cd，∴∠cod=∠aob=30，∴∠boc=120， （2分）
故的長為． （3分）
(2)鏈結bd，∵ab=cd，∴∠adb=∠cbd，∴bc∥ad， （5分）
同理ef∥ad，從而bc∥ad∥fe． （6分）
(3)過點b作bm⊥ad於m，由(2)知四邊形abcd為等腰梯形，
從而bc=ad-2am=2r-2am． （7分）
∵ad為直徑，∴∠abd=90，易得△bam∽△dab
∴am==，∴bc=2r-，同理ef=2r- （8分）
∴l=4x+2(2r-)==，其中0＜x＜ （9分）
∴當x=r時，l取得最大值6r． （10分）
4．解：(1)解法1：根據題意可得：a(-1,0)，b(3,0)；
則設拋物線的解析式為(a≠0)
又點d(0，-3)在拋物線上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3 3分
自變數範圍：-1≤x≤3 4分
解法2：設拋物線的解析式為(a≠0)
根據題意可知，a(-1,0)，b(3,0)，d(0，-3)三點都在拋物線上
∴，解之得：
∴y=x2-2x-3 3分
自變數範圍：-1≤x≤3 4分
2)設經過點c「蛋圓」的切線ce交x軸於點e，鏈結cm，
在rt△moc中，∵om=1，cm=2，∴∠cmo=60°,oc=
在rt△mce中，∵oc=2，∠cmo=60°，∴me=4
∴點c、e的座標分別為(0，)，(-3,0) 6分
∴切線ce的解析式為 8分
(3)設過點d(0，-3)，「蛋圓」切線的解析式為：y=kx-3(k≠0) 9分
由題意可知方程組只有一組解
即有兩個相等實根，∴k=-2 11分
∴過點d「蛋圓」切線的解析式y=-2x-3 12分
5、解：(1) ∵四邊形為正方形 ∴
∵、、在同一條直線上直線與⊙相切；
(2)直線與⊙相切分兩種情況:
①如圖1, 設點在第二象限時,過作軸於點,設此時的正方形的邊長為,則,解得或(捨去)．
由∽ 得
∴ ∴，
故直線的函式關係式為；
②如圖2, 設點在第四象限時,過作軸於點,設此時的正方形的邊長為,則,解得或(捨去)．
由∽ 得
∴ ∴，故直線的函式關係式為.
(3)設,則,由得∴∵∴.
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