六時變電磁場
6.1 有一導體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位於正弦時變磁場之中，如題6.1圖所示。滑片的位置由確定，軌道終端接有電阻，試求電流i.
解穿過導體迴路abcda的磁通為
故感應電流為
6.2 一根半徑為a的長圓柱形介質棒放入均勻磁場中與z軸平行。設棒以角速度繞軸作等速旋轉，求介質內的極化強度、體積內和表面上單位長度的極化電荷。
解介質棒內距軸線距離為r處的感應電場為
故介質棒內的極化強度為
極化電荷體密度為
極化電荷面密度為
則介質體積內和表面上同單位長度的極化電荷分別為
6.3 平行雙線傳輸線與一矩形迴路共面，如題6.3圖所示。設、、，求迴路中的感應電動勢。
解由題給定的電流方向可知，雙線中的電流產生的磁感應強度的方向，在迴路中都是垂直於紙面向內的。故迴路中的感應電動勢為式中故
則6.4 有乙個環形線圈，導線的長度為l，分別通過以直流電源**電壓u0和時變電源**電壓u（t）。討論這兩種情況下導線內的電場強度e。
解設導線材料的電導率為，橫截面積為s，則導線的電阻為
而環形線圈的電感為l，故電壓方程為
當u=u0時，電流i也為直流，。故
此時導線內的切向電場為
當u=u（t）時，，故
即求解此微分方程就可得到。
6.5 一圓柱形電容器，內導體半徑為a，外導體內半徑為b，長為l。設外加電壓為，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等於電容器的傳導電流。
解當外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時的電場分布可視為相同（準靜態電場），即
故電容器兩極板間的位移電流密度為
則式中，是長為l的圓柱形電容器的電容。
流過電容器的傳導電流為
可見6.6 由麥克斯韋方程組出發，匯出點電荷的電場強度公式和泊松方程。
解點電荷q產生的電場滿足麥克斯韋方程和由得
據散度定理，上式即為
利用球對稱性，得
故得點電荷的電場表示式
由於，可取，則得
即得泊松方程
6.7 試將麥克斯方程的微分形式寫成八個標量方程：（1）在直角座標中；（2）在圓柱座標中；（3）在球座標中。
解 （1）在直角座標中
（2）在圓柱座標中
（3）在球座標系中
6.8 已知在空氣中，求和。
提示：將e代入直角座標中的波方程，可求得。
解電場e應滿足波動方程
將已知的代入方程，得
式中故得則由
得將上式對時間t積分，得
6.9 已知自由空間中球面波的電場為
求h和k。
解可以和前題一樣將e代入波動方程來確定k，也可以直接由麥克斯韋方程求與e相伴的磁場h。而此磁場又要產生與之相伴的電場，同樣據麥克斯韋方程求得。將兩個電場比較，即可確定k的值。
兩種方法本質上是一樣的。由得
將上式對時間t積分，得
1）將式（1）代入
得將上式對時間t積分，得
（2）將已知的
與式（2）比較，可得
含項的er分量應略去，且，即
將代入式（1），得
6.10 試推導**性、無損耗、各向同性的非均勻媒質中用e和b表示麥克斯韋方程。
解注意到非均勻媒質的引數是空間座標的函式，因此
而因此，麥克斯韋第一方程變為又
故麥克斯韋第四方程變為
則在非均勻媒質中，用e和b表示的麥克斯韋方程組為
6.11 寫出在空氣和的理想磁介質之間分界面上的邊界條件。
解空氣和理想導體分介面的邊界條件為
根據電磁對偶原理，採用以下對偶形式
即可得到空氣和理想磁介質分界面上的邊界條件
式中，jms為表面磁流密度。
6.12 提出推導的詳細步驟。
解如題6.12圖所示，設第2區為理想導體（）。在分界面上取閉合路徑。對該閉合路徑應用麥克斯韋第一方程可得
（1）因為為有限值，故上式中
而(1)式中的另一項
為閉合路徑所包圍的傳導電流。取n為閉合路徑所圍面積的單位向量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關係），則有
因故式（1）可表示為
2）應用向量運算公式，式（2）變為
故得3）
由於理想導體的電導率，故必有，故式（3）變為
6.13 在由理想導電壁（）限定的區域內存在乙個由以下各式表示的電磁場：
這個電磁場滿足的邊界條件如何？導電壁上的電流密度的值如何？
解如題6.13圖所示，應用理想導體的邊界條件可以得出
在x=0處，
在x=a處，
上述結果表明，在理想導體的表面，不存在電場的切向分量ey和磁場的法向分量hx。
另外，在x=0的表面上，電流密度為
在x=a的表面上，電流密度則為
6.14 海水的電導率，在頻率f=1ghz時的相對介電常數。如果把海水視為一等效的電介質，寫出h的微分方程。
對於良導體，例如銅，，比較在f=1ghz時的位移電流和傳導電流的幅度。可以看出，即使在微波頻率下，良導體中的位移電流也是可以忽略的。寫出h的微分方程。
解對於海水，h的微分方程為
即把海水視為等效介電常數為的電介質。代入給定的引數，得
對於銅，傳導電流的幅度為，位移電流的幅度。故位移電流與傳導電流的幅度之比為
可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計的。故對於銅，h的微分方程為
6.15 計算題6.13中的能流密度向量和平均能流密度向量。
解瞬時能流密度向量為
為求平均能流密度向量，先將電磁場各個分量寫成複數形式
故平均能流密度向量為
6.16 寫出存在電荷j的無損耗媒質中e和h的波動方程。
解存在外加源和j時，麥克斯韋方程組為
1）2）
3）4）
對式（1）兩邊取旋度，得而故
5）將式（2）和式（3）代入式（5），得
這就是h的波動方程，是二階非齊次方程。
同樣，對式（2）兩邊取旋度，得即6）
將式（1）和式（4）代入式（6），得
此即e滿足的波動方程。
對於正弦時變場，可採用複數形式的麥克斯韋方程表示
7）8）
9）10）
對式（7）兩邊取旋度，得
利用向量恒等式
得11）
將式（8）和式（9）代入式（11），得
此即h滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。
同樣，對式（8）兩邊取旋度，得
即12）
將式（7）和式（10）代入式（12），得
此即e滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍茲方程。
6.17 在應用電磁位時，如果不採用洛倫茲條件，而採用所謂的庫侖規範，令，試匯出a和所滿足的微分方程。
解將電磁向量位a的關係式
和電磁標量位的關係式
代入麥克斯韋第一方程
得利用向量恒等式得1）
又由得即2）
按庫侖規範，令，將其代入式（1）和式（2）得
3）4）
式（3）和式（4）就是採用庫侖規範時，電磁場a和所滿足的微分方程。
6.18 設電場強度和磁場強度分別為
證明其坡印廷向量的平均值為
解坡印廷向量的瞬時值為
故平均坡印廷向量為
6.19 證明在無源空間（），可以引入乙個向量位am和標量位，定義為
試推導m和的微分方程。
解無源空間的麥克斯韋方程組為
1）2）
3）4）
據向量恒等式和式（4），知d可表示為乙個向量的旋度，故令
5）將式（5）代入式（1），得即6）
根據向量恒等式和式（6），知可表示為乙個標量的梯度，故令
7）將式（5）和式（7）代入式（2），得8）而
故式（8）變為
9）又將式（7）代入式（3），得
即10）
令將它代入式（9）和式（10），即得am和的微分方程
6.20 給定標量位及向量位，式中。（1）試證明：；（2）b、h、e和d；（3）證明上述結果滿足自由空間中的麥克斯韋方程。
解 （1）故則
（2）而（3）這是無源自由空間的零場，自然滿足麥克斯韋方程。
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