運動學補充練習

乙個有用的結論：自由弦運動的等時性及應用

如左下兩圖所示，直徑為的豎直圓環，可以證明：物體從靜止開始，無摩擦地由圓環最高點沿不同的弦運動到圓周上或者從圓周上沿不同的弦運動到圓環最低點，所需的時間都相等，且等於沿豎直直徑自由落體的時間，即：。

（請同學們結合牛頓第二定律與運動學公式證明之）

在利用「自由弦運動的等時性」分析和解答極值問題時，關鍵準確地畫出豎直圓，豎直圓的位置有兩個特點：

①、一定通過運動的起點和終點。②、一定與不定點的連線（直線或曲線）相切：當起點一定時與不同終點的連線相切；當終點一定時與不同起點的連線相切。

例1：（2023年第二屆全國中學生力學競賽試題）乙個質點自傾角為的斜面上方定點a，沿光滑斜槽從靜止開始滑下，為了使質點在最短時間到達斜面，求斜槽與豎直方向的夾角應等於多少？

解析：為了畫一豎直圓通過起點a，並與不同終點的連線相切；可以先通過起點a作一水平線與斜邊延長線交於，然後作的角平分線交過a點的豎直於o；以o為圓心，以oa為半徑畫圓，如圖所示。可以看出從a運動到在圓周上的的切點，所需時間最短；又因為為等腰三角形頂角的外角，應等於不相鄰的兩內角之和，即：

=2。

練習1、乙個物體沿有共同底邊（其長度為l），的不同斜面，從頂部由靜止開始無摩擦滑下，證明：沿450傾角的斜面滑下，所需時間最短，為：

2、一火車沿直線軌道從靜止發出由a地駛向b地，並停止在b地。ab兩地相距x，火車做加速運動時，其加速度最大為a1，做減速運動時，其加速度的絕對值最大為a2，由此可可以判斷出該火車由a到b所需的最短時間為奧賽題目）

3、如圖所示，為一光滑豎直的圓環，ab為水平直徑，甲乙

兩個小球以相同速率從a處分別沿上、下兩半圓環運動，設

它們到達b處所用時間分別為t甲和t ，則它們關係是？

4、商場中有一扶梯，某顧客沿開動上行的自動扶梯走上樓時，數得走了16級，當他用同樣的速度相對扶梯沿向下開動的自動扶梯走上樓時，數得走了48級，則靜止時自動扶梯露出的級數為多少？

5、甲、乙兩船在靜水中的航行速度分別為v甲和v乙，兩船從同一渡口向對岸劃去，甲以最短時間渡河，乙以最短航程渡河，結果兩船抵達對岸的同一地點，求兩船所用的時間之比。

6、細桿abc在一豎直平面上靠著乙個台階放置，a端可沿著水平地面朝台階運動，細桿不離開台階拐角．當abc杆與水平地面夾角為圖1所示的時，杆的b點恰好位於台階拐角處，而且c端運動速度值恰為a端運動速度值的2倍，試求：bc長與ab長的比值

7、如圖所示，由兩個圓球所組成的滾珠軸承，其內環半徑為r2，外環半徑為r1，在兩環之間分布的小球半徑為r，外環以線速度v1順時針方向轉動，而內環則以以線速度v2順時針方向轉動，試求小球中心在圍繞圓環的中心順時針轉動的線速度v和小球自轉的角速度ω。（設小球與圓環之間無滑動發生）

8、如圖所示，兩條位於同一豎直平面內的水平軌道，相距為h。軌道上有兩個物體a和b，它們通過一根繞過定滑輪o的不可伸長的輕繩相連線，物體a在下面的軌道上以勻速率v運動。在軌道間的繩子與軌道成300的瞬間，繩子bo段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴p與繩子分離。

設繩長bo遠大於滑輪直徑。求：

（1）小水滴p脫離繩子時速度的大小和方向。

（2）小水滴p離開繩子落到下面軌道所需要的時間。