碩士學位課程考試試卷
考試科目齒輪嚙合原理
考生姓名考生學號
學院專業： 機械設計及理論
考生成績
任課老師 (簽名
考試日期：2013 年 6月日午時至時
一、 基本概念（每題3分，共計24分）
1． 解釋齒輪的瞬心線？
答：對於作平面運動的兩個構件1和2，瞬心線是瞬時迴轉中心在座標系(i=1,2)中的軌跡。當座標系繞轉動時，瞬時迴轉中心i就會描繪出瞬心線。
當齒輪傳動比為常數時，瞬心i保持在上的位置，瞬心線是半徑分別為的兩圓。當齒輪傳動比不是常數時，瞬心在迴轉運動傳遞過程中沿移動，瞬心線是非圓形曲線，呈封閉的或者不封閉的。當乙個構件迴轉運動時，另乙個構件直移運動時，瞬心線是乙個圓和與圓相切的直線。
2． 解釋平面曲線的曲率？
答：如圖1所示，用s表示曲線的弧長。考察曲線上分別與s和對應的兩個相鄰的點m和n，如圖1(a)所示，點m和n之間的弧長，而是點m和n處的兩條切線之間的夾角。
當點n趨近於點m時，比值的極限稱為曲線在點m處的曲率（標記為k）。將取倒數得稱為曲線在點m處的曲率半徑（標記為）。這裡的是極限（密切）圓的半徑，而極限圓是當兩個相鄰點n和趨近於點m時通過點m和該兩個相鄰點畫出來的，如圖1(b)所示。
我們把圓心c稱為曲率中心。
圖1 平面曲線的曲率
3． 解釋齒廓漸屈線？
答：齒廓漸屈線是給定齒廓曲線
曲率中心的軌跡，同時也是給定齒廓
曲線密切圓圓心的軌跡，如圖2所示。
從圖上可以看出，齒廓曲線上每一點
的法線都是和其漸屈線相切的，換句
話說，齒廓漸屈線是齒廓曲線法線的
包絡。圖2 齒廓漸屈線
4． 解釋齒輪的瞬時回轉軸？
答：如果迴轉運動在兩個相交軸之間傳遞，如圖3所示，兩齒輪朝相反的方向轉動。其中，oa與ob分別表示迴轉運動的迴轉軸線，兩齒輪朝相反的方向轉動。
圖3 兩相交軸之間的迴轉運動
圖上、分別表示齒輪1和齒輪2的角速度。由於兩齒輪發生相對運動過程中可以形成瞬時接觸線oi。那麼，我們就將齒輪1對齒輪2（或者齒輪2對齒輪1）相對運動中角速度的作用線oi叫做瞬時回轉軸。
5． 解釋齒輪的瞬軸面？
答：對於迴轉運動在相交軸之間傳遞，如圖4所示，瞬軸面是瞬時回轉軸在與迴轉齒輪剛性固接的動參考標架（=1,2）中的軌跡。在兩相交軸之間的迴轉運動進行傳遞的情況下，瞬軸面是兩個頂角為和的圓錐，如圖4所示。
這兩個圓錐叫做節錐，它們的切觸線是oi，並且其相對運動是純滾動。
圖4 相交軸之間的迴轉運動
對於迴轉運動在交錯軸之間傳遞，如圖5所示，兩個構件分別以角速度和繞兩個相錯軸轉動，轉動軸線構成相錯角，兩軸線之間的最短距離為e。當構件1和2轉動時，螺旋運動的瞬時軸線s—s在參考標架1和2中將形成兩個曲面——迴轉雙曲面。這樣的曲面是在兩相錯軸之間傳遞歸轉運動情況下的瞬軸面,此時的瞬軸面定義為螺旋運動瞬時軸線在座標系（=1,2）中形成的軌跡。
圖5 交錯軸之間迴轉運動
6． 解釋共軛齒形？
答：如圖6所示，ⅰ、ⅱ是兩齒輪的瞬心線，1、2是相應的一對齒形。當兩齒輪進行傳動的過程中，兩瞬心線作相對的純滾動，而兩齒形則時時保持相切接觸（有相對滑動）。
我們把這樣的兩個齒形叫做互相共軛的齒形，也就是共軛齒形。
圖6 共軛齒形
7． 解釋嚙合面？
答：配對曲面和在每乙個瞬時彼此沿著一條線相接觸，我們就把該線稱作瞬時接觸線或者特徵線，如圖8所示。齒輪齒面上瞬時接觸線的位置決定於運動引數。
那麼，有了瞬時接觸線的定義，我們就可以得到嚙合面是表示在與機架剛性固定座標系fs中的瞬時接觸線族。
圖8 齒面上的瞬時接觸線
8． 寫出euler的方程式？
答：euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之間的關係，並且表示為
式中q是由向量和單位向量構成的夾角，如圖9所示。向量表示在曲面的切面上選取的方向，而是曲面在這個方向上的法曲率。單位向量和沿著兩個主方向，而和是主曲率。
圖9 向量和的分解圖
二、 分析曲線和曲面（21分）
要求：採用微分幾何理論及數學軟體的方法；
1）舉例項對曲線進行分析（建立座標系、詳細說明、作圖分析及列出程式）。
問題：已知某物體在xoy平面內運動，其運動過程滿足微分方程，試運用微分幾何理論及數學軟體求解該物體的軌跡曲線，並作圖。
分析：由於該問題為常微分方程初值問題，對於該問題可以運用多種數值方法求解。在這裡，我運用了數值分析中求解該問題常用的四階r-k方法程式設計求解。求解過程如下：
編制求解該問題的m檔案並存入檔案程式設計如圖10所示。
圖10 m檔案程式
執行該m檔案，得到該物體在平面xoy內的運動軌跡曲線如圖11所示。
圖11 物體運動軌跡圖
2）舉例項對曲面進行分析（建立座標系、詳細說明、作圖分析及列出程式）。
問題：已知某曲面在三維座標系oxyz內的方程為，運用數學軟體建立座標系，生成該曲面的三維圖。
分析：對於該問題，我運用的是matlab軟體程式設計，再利用軟體中的繪圖命令生成三維圖，求解過程如下：
編制生成曲面的m檔案並存入作業程式中，如圖12所示。
圖12 生成曲面程式
執行該m檔案，得到曲面圖如圖13所示。
圖13 曲面生成圖
三、 推導方程（1題8分，2題12分，共計20分）
1. 座標系和剛性固接到齒輪1和齒輪2，兩齒輪傳遞平行軸之間的迴轉運動（圖14）。齒輪的兩回轉角和用方程:
聯絡著，式中和是兩瞬線的半徑。e是兩轉動軸線之間的最短距離。固定座標系剛性固接到齒輪箱體上。 是輔助座標系，它也剛性固接到齒輪箱體上。
圖14推導：1) 從s2到s1的座標變換方程。
2) 從s1到s2的座標變換方程。
解：1) 由於，，轉動矩陣，轉動矩陣，轉動矩陣，
那麼，我們可以從公式
1）推導出矩陣的表示式，推導結果如下：
2）再利用（1）（2）式，可以得到從s2到s1的座標變換方程
2) 由於，故對求其逆矩陣得
而逆座標變換基於矩陣方程為
則推導出從s1到s2的座標變換方程為
2. 座標系 , 和分別與齒條刀具、被加工的直齒外齒輪和機架剛性固接（圖15）。齒條刀具的齒形是直線，該直線用方程
（ ）
表示在中。這裡，a 是齒形角（壓力角）；u 是變引數，該引數用來確定齒條刀具齒形上的流動點位置（對於點m， ；對於點，）。瞬時迴轉中心為 。
齒輪的瞬心線是半徑為r的圓，而齒條刀具的瞬心線與軸重合（圖15）。齒條刀具的位移和齒輪的轉角有如下關係式
圖15求： 1）推導嚙合方程。
2）匯出齒條刀具和被加工齒輪在嚙合中的嚙合線方程。
3）匯出被加工齒輪的齒形方程。
4）確定齒條刀具的極限安裝位置，這種安裝位置將使齒輪的被加工齒形避免根切，並作圖說明。
解：1) 由《齒輪幾何學與應用理論》可得下面兩個表示式
其中，表示在中的i的座標。和是產生齒形的切線向量和法線向量，是軸的單位向量。
由上述方程可以推導出嚙合方程的表示式
2) 關於嚙合線，查《齒輪幾何學與應用理論》得到下面的方程：
由這兩個方程可以得到
求解方程組得
嚙合線（圖16）是通過i的一條直線，並且與軸構成夾角。線段上各個點對應於；線段上的各個點對應於。
圖16 嚙合線
3) 從到的座標變換方程表示為
3） 齒輪嚙合方程表示為
4） 變換矩陣為
（5）由方程（1）（2）（3）方程可以推導出被加工齒輪齒形的表示式
6）方程（6）用引數和以雙引數形式表示被加工齒形。從方程（6）中可以消去，故得到被加工齒形表示式
7）方程（7）表示一條漸開線，它對應半徑為的基圓。
4) 齒條刀具齒形的界限點是這樣的點，它在齒輪的齒形上形成奇異點。齒條刀具的界限點可以用嚙合方程和根切方程確定，後一方程可以用下面的方程求出
由於式中，
由上面幾式可以推導出表示式
這樣，我們得到的界限值為，從而得到
考慮到嚙合方程，我們得到與由方程給出的相同的界限值。圖17說明了齒條刀具的極限安裝位置，此時點f形成齒輪齒形上的奇異點。點f的引數是負的，並由方程確定。
圖17 齒條刀具的極限安裝位置
四、 綜述及分析？（20分）
採用齒輪嚙合原理的基本理論和方法，結合工程實際或列舉例項，建立座標系、理論推導、綜合分析齒輪嚙合原理的應用。（程式設計設計、實體建模、**分析、運動軌跡等）。
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